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| − | Eine '''Korrelation'''<ref>Vom mittellat. "correlatio" für "Wechselbeziehung". Vgl. [https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation Wikipedia, Stichwort: Korrelation], abgefragt 28.7.2024.</ref> bezeihnet in der [[Statistik]] Bezeichnung einen Zusammenhang zweier quantitativer Merkmale bzw. [[Zufallsvariable]]n. <ref>[https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelation-40362 Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Korrelation], abgefragt 28.7.2024.</ref>
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| − | Im Gegensatz zur [https://de.wikipedia.org/wiki/Proportionalität Proportionalität] ist die Korrelation nur ein [statistischer Zusammenhang. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation Wikipedia, Stichwort: Korrelation], abgefragt 28.7.2024.</ref>
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| − | Korrelationen
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| − | * liegen zwischen Null (=kein Zusammenhang) bis Eins (=starker Zusammenhang);
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| − | * sind größer Null, wenn eine ''positive Korrelation'' (wenn mehr, dann mehr) vorliegt.
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| − | :zB: Mehr Kühe, mehr Milch
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| − | * sind kleiner Null, wenn eine ''negative Korrelation'' (wenn mehr, dann weniger) vorliegt.
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| − | :zB: je weiter man fährt umso weniger Treibstoff ist im Tank. '''besseres Beispiel suchen.
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| − | ''siehe auch-> [[Kovarianz]], [https://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenhangsmaß Zusammenhangsmaß]''
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| − | == Bedeutung ==
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| − | <!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]'' -->
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| − | ''siehe auch-> [[Portfoliotheorie]], [[Capital Asset Pricing Model]]'' '''beide ev lö'''
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| − | Die Korrelation ist von erheblicher Bedeutung bei [https://de.wikipedia.org/wiki/Kapitalanlage Kapitalanlagen] ([[Finanzanlage]]n). Es gilt: Das Gesamtrisiko des gesamten [[Portfolio]]s ist umso geringer, je geringer die einzelnen Anlagen (Assets) miteinander korrelieren.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation Wikipedia, Stichwort: Korrelation], abgefragt 28.7.2024.</ref>
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| − | Beispielsweise korrelieren die Risiken von [[Aktie]]n und [https://de.wikipedia.org/wiki/Anleihe Anleihen] weniger miteinander als Aktien untereinander, weshalb eine Mischung in einem [[Portfolio]] von Vorteil ist.
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| − | Reduktion der Korrelation des Gesamtportfolios im Verhältnis zu seinen Einzelanlagen verbessert nach der [[Portfoliotheorie]] ([https://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Markowitz Harry Markowitz], 1952) das Rendite-Risiko-Verhältnis. Auf langfristiger Basis wird damit prinzipiell eine höhere Rendite bei geringerem Risiko erzielt.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation Wikipedia, Stichwort: Korrelation], abgefragt 28.7.2024.</ref>
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| − | Die Korrelation des Risikos einer einzelnen Aktie zum [[Portfolio]] findet ausdruck im [[Beta-Faktor]]s des [[Capital Asset Pricing Model]]s (CAPM).
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| − | == Ermittlung / Berechnung ==
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| − | '''einen löschen'''
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | </ref>
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| − | ''NN''<ref>Aus [
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | <math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
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| − | | [[Variable]]
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| − | <u>Excel</u>
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| − | * NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
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| − | Microsoft Support, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 28.7.2024.</ref>
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| − | == Korrelationskoeffizient ==
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Korrelationskoeffizient
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| − | ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelationskoeffizient_nach_Bravais-Pearson </u>''
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| − | Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson, auch Produkt-Moment-Korrelation,[1] ist ein Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei mindestens intervallskalierten Merkmalen, das nicht von den Maßeinheiten der Messung abhängt und somit dimensionslos ist. Er kann Werte zwischen − 1 {\displaystyle -1} und + 1 {\displaystyle +1} annehmen. Bei einem Wert von + 1 {\displaystyle +1} (bzw. − 1 {\displaystyle -1}) besteht ein vollständig positiver (bzw. negativer) linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen. Wenn der Korrelationskoeffizient den Wert 0 aufweist, hängen die beiden Merkmale überhaupt nicht linear voneinander ab. Allerdings können diese ungeachtet dessen in nichtlinearer Weise voneinander abhängen. Damit ist der Korrelationskoeffizient kein geeignetes Maß für die (reine) stochastische Abhängigkeit von Merkmalen. Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten stellt das Bestimmtheitsmaß dar. Der Korrelationskoeffizient wurde erstmals vom britischen Naturforscher Sir Francis Galton (1822–1911) in den 1870er Jahren verwendet. Karl Pearson lieferte schließlich eine formal-mathematische Begründung für den Korrelationskoeffizienten.[2] Da er von Auguste Bravais und Pearson populär gemacht wurde, wird der Korrelationskoeffizient auch Pearson-Korrelation oder Bravais-Pearson-Korrelation genannt.
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| − | Je nachdem, ob der lineare Zusammenhang zwischen zeitgleichen Messwerten zweier verschiedener Merkmale oder derjenige zwischen zeitlich verschiedenen Messwerten eines einzigen Merkmals betrachtet wird, spricht man entweder von der Kreuzkorrelation oder von der Kreuzautokorrelation (siehe auch Zeitreihenanalyse).
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| − | Korrelationskoeffizienten wurden mehrfach – so schon von Ferdinand Tönnies – entwickelt, heute wird allgemein jener von Pearson verwendet.
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| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelation-40362 </u>''
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| − | Messung der Korrelation zweier Merkmale aus vorliegenden Wertepaaren durch Korrelationskoeffizienten. Bei quantitativen Merkmalen und der Verwendung des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten ist zu beachten, dass nur der Grad des linearen Zusammenhang beider Merkmale gemessen werden kann. Bei qualitativen Variablen wird statt von Korrelation von Assoziation bzw. Kontingenz gesprochen.
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| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelationskoeffizient-39501 </u>''
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| − | Ausführliche Definition im Online-Lexikon
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| − | Korrelationsmaß; Maß, mit dem in der Korrelationsanalyse die „Stärke” eines positiven oder negativen Zusammenhangs (Korrelation) zwischen zwei quantitativen Merkmalen bzw. Zufallsvariablen gemessen werden kann. Zu beachten ist, dass der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient nur den Grad des linearen Zusammenhangs misst. Ein aus einer Zufallsstichprobe berechneter Korrelationskoeffizient stellt jeweils eine Punktschätzung für den entsprechenden Koeffizienten in der Grundgesamtheit dar.
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| − | 1. Bravais-Pearsonscher linearer Korrelationskoeffizient: Sind (xi,yi), i = 1, ... ,n , die n beobachteten Wertepaare des bivariaten Merkmals (X,Y), so ist der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient durch
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| − | MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+cjwvbWk+Cjxtcm93Pgo8bWk+eDwvbWk+CjxtaT55PC9taT4KPC9tcm93Pgo8L21zdWI+Cjxtbz49PC9tbz4KPG1mcmFjPgo8bXN1Yj4KPG1pPnM8L21pPgo8bXJvdz4KPG1pPng8L21pPgo8bWk+eTwvbWk+CjwvbXJvdz4KPC9tc3ViPgo8bXJvdz4KPG1zdWI+CjxtaT5zPC9taT4KPG1pPng8L21pPgo8L21zdWI+Cjxtc3ViPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT55PC9taT4KPC9tc3ViPgo8L21yb3c+CjwvbWZyYWM+CjwvbWF0aD4K
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| − | definiert, wobei sxy die empirische Kovarianz und sx, sy die empirischen Standardabweichungen der Merkmale X und Y in den jeweiligen Stichproben sind. Es ist also mit rxy = r
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| − | definiert, wobei MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eDwvbWk+Cjxtbz7MhDwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K und MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eTwvbWk+Cjxtbz7MhDwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K die arithmetischen Mittel der Werte der beiden Variablen bezeichnen (Korrelationskoeffizient der Stichprobe). Dieser Korrelationskoeffizient liegt, anders als die Kovarianz sxy, immer zwischen –1 und +1. Falls die Punkte (x1,y1), ... ,(xn,yn) alle auf einer Geraden mit positiver (negativer) Steigung liegen, ist r = +1 (r = –1). Der Korrelationskoeffizient der Stichprobe hat wünschenswerte Eigenschaften als Schätzwert für den Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit dann, wenn letztere eine zweidimensionale Normalverteilung aufweist. Ist (X, Y) eine zweidimensionale Zufallsvariable, wobei Cov (X, Y) deren Kovarianz ist und Var X, Var Y die Varianzen der beiden Variablen bezeichnen, dann ist deren Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient
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| − | MathML (base64):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| − | 2. Spearman-Pearsonscher Rangkorrelationskoeffizient: Es seien R(xi) bzw. R(yi) der Rang des Wertes xi bzw. yi innerhalb der n Werte des ersten bzw des zweiten Merkmals, i = 1, ... ,n . Der Spearman-Pearsonsche Rangkorrelationskoeffizient rS ist der Bravais-Pearsonsche Koeffizient dieser Rangwerte und ergibt sich vereinfacht als (r=rS):
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| − | MathML (base64):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| − | falls x1, ... ,xn und y1, ... ,yn jeweils paarweise verschieden sind. Falls die Punktepaare (x1,y1), ... ,(xn,yn) alle auf einer streng monoton steigenden (fallenden) Kurve liegen, ist rs = +1 (rs = –1). Er kann auch bei nur ordinal skalierten Merkmalen (Ordinalskala) berechnet werden. Der Wert +1 wird angenommen, wenn die Ränge in den Datenreihen x1, ... ,xn bzw. y1, ... ,yn übereinstimmen. Der Wert -1 wird angenommen, falls die Ränge ein gegenläufiges Verhalten aufweisen.
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| − | === Fachliteratur ===
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| − | <!-- " *)mwN <small>ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben</small> -->
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| − | * Hackl ua (1982), S. 83 f;
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| − | ''siehe auch -> [[Liste der verwendeten Literatur]],''
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| − | ev [[Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole]], [[Liste der verwendeten Formeln]]
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation </u>''
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| − | <s>''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelationskoeffizient_nach_Bravais-Pearson </u>''</s> '''ev lö'''
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| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelation-40362 </u>''
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| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelationskoeffizient-39501 </u>''
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 28.7.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 28.7.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 28.7.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 28.7.2024;
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| − | == Einzelnachweise==
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| − | <references />
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| − | <nowiki>
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| − | [[Kategorie:Mathematischer Begriff]]
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| − | </nowiki>
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