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| − | ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Statistik </u>'' <s></s> <!-- -->
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| − | Statistik „ist die Lehre von Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen“ (Daten).[1] Sie ist eine Möglichkeit, „eine systematische Verbindung zwischen Erfahrung (Empirie) und Theorie herzustellen“.[1] Unter Statistik versteht man die Zusammenfassung bestimmter Methoden zur Analyse empirischer Daten. Ein alter Ausdruck für „Statistik“ ist Sammelforschung.
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| − | Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, wie zum Beispiel der Medizin (Medizinische Statistik), der Psychologie (Psychometrie), der Politologie, der Soziologie, der Wirtschaftswissenschaft (Ökonometrie), der Biologie (Biostatistik), der Chemie (Chemometrie) und der Physik. Die Statistik stellt somit die theoretische Grundlage aller empirischen Forschung dar. Da die Menge an Daten in allen Disziplinen rasant zunimmt, gewinnt auch die Statistik und die aus ihr abgeleitete Analyse dieser Daten an Bedeutung. Andererseits ist die Statistik ein Teilgebiet der reinen Mathematik. Das Ziel der reinen mathematischen Statistik ist das Beweisen allgemeingültiger Aussagen mit den Methoden der reinen Mathematik. Sie bedient sich dabei der Erkenntnisse der mathematischen Grundlagendisziplinen Analysis und lineare Algebra.
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| − | https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96konometrie
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik </u>'' <s></s> <!-- -->
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| − | ;Statistik
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| − | → Hauptartikel: Statistik
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| − | Statistik ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten. Dabei verbindet sie empirische Daten mit theoretischen Modellen. Man kann die Statistik unterteilen in die beschreibende Statistik (deskriptive Statistik) und die beurteilende Statistik (schließende Statistik).[21] In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll. In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik.[22]
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| − | | |
| − | Daten, Stichprobe, Grundgesamtheit, Häufigkeit (absolute, relative), Merkmal, Merkmalsausprägung
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| − | Häufigkeitsverteilung, Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Stamm-Blatt-Diagramm
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| − | explorative Datenanalyse, Minimum, Quartil, Quantil, Median, Maximum, Boxplot
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| − | arithmetisches Mittel, geometrischer Mittelwert, harmonisches Mittel, gewichtetes Mittel
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| − | Stichprobenvarianz, Stichprobenstandardabweichung, Abweichung, Spannweite
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| − | Hypothesentest, Testen nach Bayes, Schätzen
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| − | | |
| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_(Statistik) </u>''
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| − | In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.
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| − | | |
| − | * Lageparameter
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| − | * Streuungsparameter
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| − | <s>* Konzentrationsparameter</s>
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| − | * Gestaltmaße bzw. -parameter '''fe Kap'''
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| − | :* [https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik) Schiefe]
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| − | :* [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%B6lbung_(Statistik) Wölbung]
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| − | ''<u> </u>''
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| − | ''<u>eigene </u>''
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| − | Der '''Begriff''' bezeichnet:
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| − | * [[NN]]
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| − | * [[NN]]
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| − | '''Begriff''' bedeutet.
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| − | <ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | == Bedeutung ==
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
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| − | ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u> </u>''
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| − | ''<u>eigene </u>''
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| − | <ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | | |
| − | == Wichtige Kenngrößen ==
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
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| − | ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Deskriptive_Statistik </u>''
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| − | ;Kenngrößen (statistische Kennwerte)
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| − | → Hauptartikel: Parameter (Statistik)
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| − | Drei Arten von Kenngrößen sind hauptsächlich von Interesse:
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| − | | |
| − | * Lagemaße: als zentrale Tendenz einer Häufigkeitsverteilung. Aus der Lage der verschiedenen Werte für die zentrale Tendenz zueinander lassen sich Schiefe und Exzess einer Häufigkeitsverteilung bestimmen.
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| − | * Streuungsmaße: für die Variabilität (Streuung oder Dispersion) einer Häufigkeitsverteilung und
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| − | * Zusammenhangsmaße: für den Zusammenhang (auch: Korrelation) zweier Variablen.
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| − | | |
| − | Die Wahl der geeigneten Kenngrößen hängt vom Skalen- oder Messniveau der Daten und von der Robustheit der Kenngröße ab.
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_(Statistik) </u>''
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| − | * Lageparameter
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| − | * Streuungsparameter
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| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_(Statistik)#Konzentrationsparameter Konzentrationsparameter]
| |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_(Statistik)#Gestaltmaße_bzw._-parameter Gestaltmaße bzw. -parameter]
| |
| − | :* [https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik) Schiefe (Statistik)]
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| − | :* [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%B6lbung_(Statistik) Wölbung (Statistik)]
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| − | ''<u> </u>''
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| − | ''<u> </u>''
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| − | ''<u> </u>''
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| − | ''<u> </u>''
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| − | ''<u>eigene </u>''
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| − | <ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | == <s>Ermittlung / Berechnung</s> ==
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| − | <!-- '''einen löschen''' -->
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u> </u>''
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| − | ''<u> </u>''
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| − | ''<u>eigene </u>''
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| − | <u>Berechnung</u><ref>Aus
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | | |
| − | | |
| − | ''NN''<ref>Aus
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | | Variable
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| − | |-
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| − | | =
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| − | | '''Ergebnis'''
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| − | |-
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| − | |}
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| − | <small>
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | | <math> {NN} </math>
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| − | | [[Variable]]
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| − | |-
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| − | |}
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| − | </small>
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| − | -->
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| − | == Lageparameter ==
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| − | === Hlf (Lage) ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Lageparameter
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| − | <!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]'' -->
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| − | ''siehe auch-> [[Mittelwert]], [[Median]], [[Modalwert]] ''
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| − | <small> </small> <u> </u> <!-- -->
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| − | ''' (zT) ok <!-- ev erg -->'''
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| − | '''Lageparameter''' geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen. '''links'''
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| − | * Zum einen die Mitte dh
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| − | :* den Mittelwert
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| − | :* den Median
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| − | :* den Modalwert
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| − | * zum anderen die Extreme
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| − | :* ''Minimum''
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| − | :* ''Maximum'' und
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| − | :* Ausreißer
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| − | Ein wichtiger Lageparameter sind die
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| − | * Quantile
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| − | | |
| − | ''[https://de.wikipedia.org/wiki/Lageparameter_(deskriptive_Statistik) Lageparameter]'' (Mittelwert) bestimmen die Ausprägung der Variablen.
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| − | | |
| − | Diese Werte berücksichtigen jedoch nur zT die Eintrittswahrscheinlichkeit. Um die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] mitzuberücksichtigen muss man den
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| − | * [[Ertragswert]] ermitteln.
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| − | | |
| − | === Mitte der Datenmenge ===
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| − | ''Hauptartikel-> [[Mittelwert]], [[Median]], [[Modalwert]]''
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| − | <!-- * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]'' -->
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | ''' erg <!-- (zT) ok -->'''
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| − | | |
| − | Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:
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| − | * Mittelwerte insbesondere [[arithmetisches Mittel|arithmetisches]], [[Geometrisches Mittel|geometrisches]] und [[harmonisches Mittel]].
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| − | * [[Median]]
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| − | * [[Modalwert]]
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| − | | |
| − | '''erg Belastbarkeit'''
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| − | === Extreme (Min/Max) ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Extremwert, Minimum, Maximum,
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| − | <!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
| |
| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]'' -->
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| − | <small> </small> <u> </u> <!-- -->
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| − | ''' (zT) ok <!-- erg -->'''
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| − | | |
| − | '''Extremwerte''' sind das
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| − | * ''Minimum'', das ist der kleinste und
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| − | * ''Maximum'', als größter Wert.
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| − | | |
| − | Während diese in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion#Notwendige_Bedingung Kurvendiskussion] durch die [https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Ableitung_als_eine_Funktion erste Ableitung] erfolgt, wird in der Unternehmensbewertung der größe oder kleinste Wert der [https://de.wikipedia.org/wiki/Grundgesamtheit Grundgesamtheit] / [https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Stichprobe] gesucht (Excel-Funktion: MIN, MAX).
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| − | | |
| − | <u>Excel</u>
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| − | * Das Minimum wird in Excel mit der Funktion ''MIN()'' berechnet.<ref>Vgl. [https://support.microsoft.com/de-de/office/min-funktion-61635d12-920f-4ce2-a70f-96f202dcc152 Microsoft Support, Stichwort Min], abgefragt 3.2.2024.</ref>
| |
| − | | |
| − | * Das Maximum wird in Excel mit der Funktion ''MAX()'' berechnet.<ref>Vgl. [https://support.microsoft.com/de-de/office/max-funktion-e0012414-9ac8-4b34-9a47-73e662c08098 Microsoft Support, Stichwort Mittelwert], abgefragt 3.2.2024.</ref>
| |
| − | | |
| − | <u>Weblinks</u>
| |
| − | | |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert Extremwert bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/extremwert-36386 Extremwert bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Größtes_und_kleinstes_Element Größtes und kleinstes Element bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | | |
| − | === Ausreißer ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Ausreißer
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| − | <!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]'' -->
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | | |
| − | ''' (zT) ok <!-- erg -->'''
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| − | | |
| − | '''Ausreißer''' sind [[Extremwerte]], die sich von den anderen Werten der [https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Stichprobe] abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression linearen Regression]) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.<ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_outliers.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Ausreißer], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | | |
| − | Die "Erwartung" wird meistens als Streuungsbereich um den [[Mittelwert]] / [[Median]] herum definiert, z. B. der Quartilsabstand Q75 – Q25. Im [[Box-Plot]] werden <s>besonders hohe</s> Ausreißer gesondert dargestellt.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Ausreißer Wikipedia, Stichwort: Ausreißer], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | | |
| − | Ursache sind häufig [https://de.wikipedia.org/wiki/Messfehler Messfehler]. Man behebt sie in dem man sie nicht ansetzt.
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| − | | |
| − | <u>Berechnung</u>
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| − | | |
| − | Es gibt verschiedene Ausreißertests (zB [https://de.wikipedia.org/wiki/Ausreißertest_nach_Grubbs Ausreißertest nach Grubbs],<ref>Diesen kann man in Excel erstellen, vgl. [https://help.xlstat.com/de/6402-grubbs-test-detect-outliers-excel-tutorial XLSTAT, Stichwort: Grubbs Test zum Aufspüren von Ausreißern in Excel], abgefragt 3.2.2024.</ref> man kann sie einfach über den Boxplot erkennen: Wenn sie außerhalb der Whisker liegen handelt es sich um Ausreißer. Ausreißer verzerren den [[Mittelwert]] und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression lineare Regression]. '''wirklich zwei Ereignisse oder Ursache/Wirkung?'''
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| − | | |
| − | Der [[Median]] ist robust gegen Ausreißer.
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| − | | |
| − | <u>Weblinks</u>
| |
| − | | |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ausreißer Ausreißer bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/ausreisser-31378 Ausreißer bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_outliers.html Ausreißer bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | | |
| − | === Quantil ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Quantil, Quartil, Perzentil
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| − | <!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
| |
| − | * Synonyme: ''[[]]''
| |
| − | ''siehe auch-> [[]]'' -->
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| − | <small> </small> <u> </u> <!-- -->
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| − | | |
| − | ''' (zT) ok <!-- erg -->'''
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| − | | |
| − | Ein '''Quantil''' ist ein [[Lagemaß]], das in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung] links die Wahrscheinlichkeit <math>p</math> und rechts die Wahrscheinlichkeit <math>{1-p}</math> angibt. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Empirisches_Quantil Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | | |
| − | Spezielle Quantile sind:
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| − | * [[Median]] p = 50%
| |
| − | * Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
| |
| − | * Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.
| |
| − | | |
| − | ;Quartil
| |
| − | '''Quartile''' teilen die zugrundeliegende Verteilung in vier Viertel.
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| − | * ''Unteres Quartil'': p = 25%, Verwendung als untere Grenze der Probe;
| |
| − | * ''Mittleres Quartil'': p = 50%, entspricht dem [[Median]];
| |
| − | * ''Oberes Quartil'': p = 75%, Verwendung als obere Grenze der Probe;
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| − | | |
| − | Der Abstand zwischen unterem und oberen Quantil wird als [https://de.wikipedia.org/wiki/Interquartilsabstand_(deskriptive_Statistik) Interquartilsabstand] bezeichnet und stellt ein wichtiges [[Streuungsmaß]] dar.
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| − | | |
| − | ;Perzentil
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| − | Als '''Perzentile''' werden die Quantile von 0 , 01 bis 0 , 99 in Schritten von 0,01 bezeichnet. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Empirisches_Quantil Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil], abgefragt 3.2.2024.</ref> Sie haben besonders Bedeutung für die [[Bandbreite]] der Unternehmensbewertung.
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| − | | |
| − | <u>Excel</u>
| |
| − | Mit der Funktion QUARTIL() lassen sich diese berechnen.<ref>Vgl. [https://support.microsoft.com/de-de/office/quartile-funktion-93cf8f62-60cd-4fdb-8a92-8451041e1a2a Microsoft Support, Stichwort Quartille], abgefragt 3.2.2024.</ref>
| |
| − | | |
| − | <u>Weblinks</u>
| |
| − | | |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Empirisches_Quantil Empirisches Quantil bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie) Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie) bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_fractile.html Quantil bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/quartil-44348 Quartil bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_quartile.html Quartil bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | | |
| − | === Darstellung (Box-Plot) ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Box-Plot
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| − | <!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
| |
| − | * Synonyme: ''[[]]''
| |
| − | ''siehe auch-> [[]]'' -->
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | | |
| − | ''' erg <!-- (zT) ok -->'''
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| − | | |
| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Box-Plot </u>'' <s></s> <!-- -->
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| − | | |
| − | <!-- Der '''Box-Plot''' (Kastengrafik) ist ein Diagramm, das zur grafischen Darstellung der Verteilung eines mindestens ordinalskalierten Merkmals verwendet wird.[1][2] Es fasst dabei verschiedene robuste Streuungs- und Lagemaße in einer Darstellung zusammen. Ein Box-Plot soll schnell einen Eindruck davon vermitteln, in welchem Bereich die Daten liegen und wie sie sich über diesen Bereich verteilen. Deshalb werden alle Werte der sogenannten Fünf-Punkte-Zusammenfassung, also der Median, die zwei Quartile und die beiden Extremwerte, dargestellt. -->
| |
| − | | |
| − | ;Zusammenfassung der Kennwerte
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| − | Der Vorteil eines Box-Plots besteht darin, dass gewisse Kennwerte einer Verteilung direkt aus der graphischen Darstellung abgelesen werden können.
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
| |
| − | ! Kennwert|| Beschreibung || Lage im Box-Plot
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| − | |-
| |
| − | |[[Größtes und kleinstes Element|Minimum]] || Kleinster Datenwert des Datensatzes || Ende eines Whiskers oder entferntester Ausreißer
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| − | |-
| |
| − | |[[Empirisches Quantil|Unteres Quartil]] || Die kleinsten 25 % der Datenwerte sind kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert || Beginn der Box
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| − | |-
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| − | |[[Median]] || Die kleinsten 50 % der Datenwerte sind kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert || Strich innerhalb der Box
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| − | |-
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| − | |[[Empirisches Quantil|Oberes Quartil]] || Die kleinsten 75 % der Datenwerte sind kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert || Ende der Box
| |
| − | |-
| |
| − | |[[Größtes und kleinstes Element|Maximum]] || Größter Datenwert des Datensatzes || Ende eines Whiskers oder entferntester Ausreißer
| |
| − | |-
| |
| − | |[[Spannweite (Statistik)|Spannweite]] || Differenz zwischen Maximum und Minimum, also Größe des Wertebereiches || Länge des gesamten Box-Plots (inklusive Ausreißer)
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| − | |-
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| − | |[[Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)|Interquartilsabstand]] || Wertebereich, in dem sich die mittleren 50 % der Daten befinden. (Liegt zwischen dem 0,25- und dem 0,75-Quartil.) || Ausdehnung der Box
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| − | |}
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| − | <s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/box-plot-53780 </u>'' </s>
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| − | <!-- graphische Darstellung in der beschreibenden Statistik (deskriptive Statistik) zur Veranschaulichung von Lage- und Streuungsmaßen zu einem metrischen Datensatz (insbesondere unteres und oberes Quartil, Median, arithmetisches Mittel, Quartilsabstand, Spannweite). Box-Plots sind besonders zum schnellen und direkten Vergleich mehrerer Datensätze geeignet. -->
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| − | <s>''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_boxwhisk.html </u>'' </s>
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| − | <!-- Box-Plots oder Schachteldiagramme (engl. box plots oder box and whisker plots), enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung. Ein Box-Plot besteht aus Rechtecken, die den Interquartilsabstand (engl. inter quartile range, IQR) zeigen. Innerhalb dieser Box wird der Median als trennende Linie dargestellt und der Mittelwert als Pluszeichen. Zur Rechten und zur Linken der Box sind Linien (whiskers) mit einer Länge des 1.5-fachen IQR eingezeichnet. Die Werte am Ende dieser Linien werden innerer Zaun (engl. inner fence) genannt. Ähnlich werden die äußeren Zäune (engl. outer fences) mit 3*IQR über oder unter den Seiten definiert (in der Darstellung unten nicht gezeigt). Beobachtungen, die zwischen die inneren und äußeren Zäune fallen, werden als kleine Kreise dargestellt, Beobachtungen außerhalb der äußeren Zäune werden mit Kreuzen markiert. Beobachtungen, die außerhalb der äußeren Zäune liegen, sind extrem selten (Wahrscheinlichkeit unter 0.0001). -->
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| − | [[Datei:Box-Plot.png|mini|Box-Plot; ex [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elements_of_a_boxplot.svg Wikimedia], erst. RobSeb]]
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| − | '''Box-Plots''' (Schachteldiagramme) <s>(engl. box plots oder box and whisker plots),</s> enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung. Ein Box-Plot besteht aus Rechtecken, die den ''Interquartilsabstand'' <s>(engl. inter quartile range, IQR)</s> zeigen. Innerhalb dieser Box wird der [[Median]] als trennende Linie dargestellt. Zur Rechten und zur Linken der Box sind Linien (whiskers<ref>Engl. für "Schnurhaare".</ref>) Dieser kann in Excel nach einem fixen Betrag, oder einem Prozentsatz des Interquartilsabstandes festgelegt werden. In manchen Fällen wird der [[Mittelwert]] als +Zeichen dargestellt.<ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_boxwhisk.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Box-Plots], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | | |
| − | Manchmal werden auch [[Ausreißer]] und [[Extremwert]]e eingetragen.
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| − | | |
| − | <u>Excel</u>
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| − | Eine Anleitung zur Erstellung eines Box-Plots findet sich bei [https://support.microsoft.com/de-de/office/erstellen-eines-boxplotdiagramms-10204530-8cdf-40fe-a711-2eb9785e510f Microsoft-Support, Stichwort Box-Plott, abgefragt 3.2.2024].
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| − | <s><u>Literatur</u></s>
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| − | <u>Weblinks</u>
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| − | | |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Box-Plot bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/box-plot-53780 Box-Plot bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_boxwhisk.html Box-Plot bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | <s><ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
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| − | === mm ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
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| − | ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u>eigene </u>''
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| − | <u>Berechnung</u><ref>Aus
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | ''NN''<ref>Aus
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
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| − | {| class="wikitable"
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| − | | '''Ergebnis'''
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| − | | [[Variable]]
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| − | <u>Literatur</u>
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| − | <u>Weblinks</u>
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| − | * [
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | <ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | | |
| − | == Streuungsparameter ==
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| − | === Hlf (Str) ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Streuungsparameter, Streuungsmaß
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| − | <!-- ''Hauptartikel-> [[]]'' -->
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| − | * Synonyme: ''Streuungsmaß''
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| − | ''siehe auch-> [[Lageparameter]]''
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| − | ''' (zT) ok <!-- erg -->'''
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| − | <s>''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Streuungsmaß_(Statistik) </u>'' </s>
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| − | <!-- Streuungsmaße, auch Dispersionsmaße (lateinisch dispersio „Zerstreuung“, von dispergere „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder Streuungsparameter genannt, fassen in der deskriptiven Statistik verschiedene Maßzahlen zusammen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell durch ihre Beeinflussbarkeit beziehungsweise Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern.
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| − | | |
| − | 2.1 Streuung um das arithmetische Mittel
| |
| − | 2.1.1 Summe der Abweichungsquadrate
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| − | 2.1.2 Empirische Varianz
| |
| − | 2.1.3 Empirische Standardabweichung
| |
| − | 2.1.4 Variationskoeffizient
| |
| − | 2.1.5 Mittlere absolute Abweichung
| |
| − | 2.2 Streuung um den Median
| |
| − | 2.2.1 Quantilsabstand
| |
| − | 2.2.2 Interquartilsabstand
| |
| − | 2.2.3 Mittlere absolute Abweichung vom Median
| |
| − | 2.2.4 Median der absoluten Abweichungen vom Median
| |
| − | 2.3 Weitere Streuungsmaße
| |
| − | 2.3.1 Spannweite
| |
| − | 2.3.2 Geometrische Standardabweichung -->
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| − | | |
| − | <s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/streuungsmass-45610 </u>'' </s>
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| − | <!--
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| − | Ausführliche Definition im Online-Lexikon
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| − | | |
| − | in der Statistik zusammenfassende Bezeichnung für Maßzahlen zur Kennzeichnung der Streuung, bes. Varianz, Standardabweichung, durchschnittliche absolute Abweichung, Spannweite, mittlerer Quartilsabstand (absolute Streuungsmaße) und Variationskoeffizient (relatives Streuungsmaß).
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| − | | |
| − | Bei theoretischen Verteilungen wird das Wort in analoger Bedeutung (Streuungsparameter) gebraucht. -->
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| − | | |
| − | <s>''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_measvariation.html </u>'' </s>
| |
| − | <!-- Werden über einen Prozess Daten gesammelt, ist es wichtig, nicht nur die Lage des Mittelwerts zu bestimmen, sondern auch die Streuung der Daten zu betrachten. Wird zum Beispiel das Resultat einer chemischen Analyse interpretiert, kann mehr Gewicht auf den erhaltenen Durchschnittswert gelegt werden, wenn bekannt ist, dass die Schwankung der gemessenen Werte der einzelnen Proben im Vergleich mit dem Mittelwert gering ist.
| |
| − | | |
| − | Im Allgemeinen ist die Streuung einer Verteilung, sowohl in absoluter als auch in relativer Hinsicht, ein gutes Maß für die Variabilität (und daher die Verlässlichkeit) der Daten. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um Streuungen in den Daten auszudrücken:
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| − | | |
| − | Varianz
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| − | Standardabweichung
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| − | Variationskoeffizient
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| − | Interquartilsabstand -->
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| − | | |
| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/streuung-43301 </u>''
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| − | Statistik
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| − | | |
| − | Dispersion, Variabilität; das mehr oder minder weite Entferntsein der Beobachtungswerte eines Merkmals bzw. der Ausprägungen einer Zufallsvariablen voneinander. Die Quantifizierung der Streuung erfolgt durch Streuungsmaße.
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| − | | |
| − | ''<u> </u>''
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| − | | |
| − | ''<u> </u>''
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| − | | |
| − | ''<u>eigene </u>'' <s> </s> <!-- -->
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| − | '''Streuungsmaße''' (Streuungsparameter) geben Auskunft über die Verteilung '''link?''' der Werte einer Funktion '''link''' oder Stichprobe'''link''' . Dabei ist nach dem Bezug zu unterscheiden
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| − | | |
| − | * Streuung um das [[arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]]
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| − | :* Varianz
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| − | :* Standardabweichung
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| − | :* Variationskoeffizient
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| − | :* <s>weiters: [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe_der_Abweichungsquadrate Summe der Abweichungsquadrate], [https://de.wikipedia.org/wiki/Streuungsma%C3%9F_(Statistik)#Mittlere_absolute_Abweichung mittlere absolute Abweichung]</s> '''ev lö'''
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| − | | |
| − | * Streuung um den [[Median]]
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| − | :* Interquartilsabstand
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| − | :* <s>weiters: Quantilsabstand, mittlere absolute Abweichung vom Median, Median der absoluten Abweichungen vom Median</s>
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| − | | |
| − | * Weitere Streuungsmaße
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| − | :* Spannweite
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| − | :* [https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Standardabweichung Geometrische Standardabweichung]
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| − | | |
| − | <s><u>Berechnung</u><ref>Aus
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
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| − | <!--
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| − | ''NN''<ref>Aus
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | | |
| − | <math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
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| − | | |
| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | |
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| − | | Variable
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| − | |-
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| − | | =
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| − | | '''Ergebnis'''
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| − | <small>
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| − | {| class="wikitable"
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| − | | <math> {NN} </math>
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| − | | [[Variable]]
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| − | </small> -->
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| − | <s><u>Literatur</u></s>
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| − | <u>Weblinks</u>
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| − | | |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Streuungsmaß_(Statistik) Streuungsmaß (Statistik) bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/streuungsmass-45610 Streuungsmaß bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_measvariation.html Streumaß bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | | |
| − | <s><ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
| |
| − | <ref>[
| |
| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
| |
| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
| |
| − | <ref>[
| |
| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
| |
| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
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| − | | |
| − | === Varianz ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Varianz
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| − | <!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]'' -->
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz </u>'' <s> </s> <!-- -->
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| − | <!-- Die Varianz ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie ist ein Maß für die Streuung reeller Werte um einen Mittel-, bzw. Erwartungswert. Die Streuung um einen Erwartungswert stellt dabei die allgemeinere Betrachtungsweise dar. Die Streuung erfasster Werte um ihr arithmetisches Mittel ist dem gegenüber ein Spezialfall und wird hier als empirische Varianz bezeichnet. -->
| |
| − | | |
| − | Die Varianz kann auch als mittleres Abweichungsquadrat der Werte interpretiert werden.
| |
| − | | |
| − | Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung. Die Standardabweichung gehört ebenfalls zu den Streuungsmaßen. Die Varianz ist in weitergehenden Berechnungen oft praktischer als die Standardabweichung: So können beispielsweise Varianzbeiträge von mehreren unabhängigen Zufallseinflüssen einfach addiert werden. Umgekehrt lässt sich durch eine Varianzanalyse eine Gesamtvarianz oft auch in ihre Beiträge (Ursachen) zerlegen. Dennoch ist die Standardabweichung oft anschaulicher als die Varianz, da sie dieselbe Größenordnung hat wie die beobachteten Werte.
| |
| − | | |
| − | <!-- Die Bezeichnung Varianz leitet sich von lateinisch variantia „Verschiedenheit“ bzw. variare „[ver]ändern, verschieden sein“ ab. -->
| |
| − | | |
| − | <s>''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik) </u>'' </s>
| |
| − | <!-- Die Varianz (lateinisch variantia „Verschiedenheit“ bzw. variare „(ver)ändern, verschieden sein“) ist ein Maß für die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsdichte um ihren Schwerpunkt. Mathematisch wird sie definiert als die mittlere quadratische Abweichung einer reellen Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Sie ist das zentrale Moment zweiter Ordnung einer Zufallsvariablen.
| |
| − | | |
| − | Die Varianz kann mit einem Varianzschätzer, z. B. der Stichprobenvarianz, bestimmt werden. Die Quadratwurzel der Varianz ist das als Standardabweichung bezeichnete wichtigste Streuungsmaß in der Stochastik.
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| − | | |
| − | Die Bezeichnung Varianz wurde vor allem von dem britischen Statistiker Ronald Fisher (1890–1962) geprägt. Weitere Wörter für die Varianz sind das veraltete Dispersion (lateinisch dispersio „Zerstreuung“ bzw. dispergere „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“), das Streuungsquadrat oder die Streuung. -->
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| − | | |
| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Empirische_Varianz </u>'' <s> </s> <!-- -->
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| − | <!-- Die empirische Varianz[1][2], auch Stichprobenvarianz[2][3] (veraltet: empirisches Streuungsquadrat) oder einfach nur kurz Varianz genannt, ist ein Maß für die Streuung von konkreten (empirisch erhobenen) Werten einer Stichprobe.
| |
| − | | |
| − | Bei der empirischen Varianz handelt sich um einen Begriff aus der beschreibenden (deskriptiven) Statistik für die Varianz. Sie gehört zu den Streuungsmaßen und beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der einzelnen Werte vom empirischen Mittelwert. Sie entspricht damit dem „durchschnittlichen Abweichungsquadrat“. -->
| |
| − | | |
| − | Die Wurzel der empirischen Varianz ist die empirische Standardabweichung.[2] Die empirische Standardabweichung stellt das gebräuchlichste Streuungsmaß dar. Sie ist anschaulicher als die Varianz, da sie dieselbe Größenordnung hat wie die beobachteten Werte.
| |
| − | | |
| − | Die empirische Varianz ist jedoch in weitergehenden Berechnungen oft praktischer als die Standardabweichung: So können beispielsweise Varianzbeiträge von mehreren unabhängigen Zufallseinflüssen einfach addiert werden. Umgekehrt lässt sich durch eine Varianzanalyse eine Gesamtvarianz oft auch in ihre Beiträge (Ursachen) zerlegen.
| |
| − | | |
| − | <!-- :<math>\sigma^2= \frac{1}{N} \sum \limits_{i=1}^N(x_i-\mu)^2</math>
| |
| − | Der Populationsmittelwert ist das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] der Datenwerte
| |
| − | :<math>\mu = \frac 1N \sum_{i=1}^N x_i</math>. -->
| |
| − | | |
| − | <s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/varianz-49184 </u>'' </s>
| |
| − | <!-- gebräuchlichste Maßzahl zur Charakterisierung der Streuung einer theoretischen oder empirischen Verteilung. Die Varianz ist ein nicht relativiertes Streuungsmaß. -->
| |
| − | | |
| − | <s>''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_variance.html </u>'' </s>
| |
| − | <!-- Zusätzlich zu den Lagemaßen, die man für die Beschreibung der Position der Verteilung einer Variablen braucht, muss man die Ausdehnung der Verteilung kennen und auch ihre Form. Klicken Sie das folgende interaktive Beispiel an, um einige Beispiele von gleichen Mittelwerten, aber verschiedenen Ausdehnungen zu sehen.
| |
| − | | |
| − | Die Ausdehnung einer Verteilung kann durch verschiedene Parameter beschrieben werden, von denen die Varianz die gebräuchlichste ist. Die Varianz v ist die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert dividiert durch die Zahl der Proben minus 1:
| |
| − | | |
| − | Bei genauerer Betrachtung dieser Formel ergeben sich folgende Fragen:
| |
| − | | |
| − | Warum wird die Quadratsumme und nicht etwa die Summe der absoluten Abweichungen vom Mittelwert zur Berechnung verwendet? Die Antwort: Die mathematische Analyse ist einfacher, wenn die Quadratsumme verwendet wird.
| |
| − | Warum wird die Summe durch n-1 dividiert; wäre es nicht logischer, einfach n zu verwenden? Die Antwort ist nicht schwer, bedarf aber der Einführung des Konzepts der Freiheitsgrade.
| |
| − | Was ist mit s² in der Formel? Die Antwort: Der Parameter s, der die Quadratwurzel der Varianz ist, wird Standardabweichung genannt.
| |
| − | | |
| − | Bitte beachten Sie bei der Bezeichnung für die Varianz und die Standardabweichung: Sie wird mit s² (bzw s) bezeichnet, wenn sie aus einer Stichprobe berechnet wurde. Wenn sie aus einer Grundgesamtheit berechnet wurde, wird die Standardabweichung durch den griechischen Buchstaben σ (Sigma) dargestellt.
| |
| − | | |
| − | Die Varianz mancher Daten ist eng verwandt mit der Präzision einer Messung. Betrachten Sie dazu das folgende interaktive Beispiel. -->
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| − | | |
| − | ''<u> </u>''
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| − | | |
| − | ''<u> </u>''
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| − | | |
| − | ''<u>eigene </u>'' <s> </s> <!-- -->
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| − | Die '''Varianz''' <ref>Vom lat. variantia = "Verschiedenheit" bzw. variare "[ver]ändern, verschieden sein"; vgl. [https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz Wikipedia, Stichwort: Varianz], abgefragt 3.2.2024.</ref> ist ein [[Statistik|statistisches]] [[Streuungsmaß]]. Er ergibt sich aus der quadratischen Abweichung der einzelnen Werte vom [[Mittelwert]].
| |
| − | | |
| − | Bitte beachten Sie bei der Bezeichnung für die Varianz und die Standardabweichung: Sie wird mit s² (bzw s) bezeichnet, wenn sie aus einer Stichprobe berechnet wurde. Wenn sie aus einer Grundgesamtheit berechnet wurde, wird die Standardabweichung durch den griechischen Buchstaben σ (Sigma) dargestellt.<ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_variance.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Varianz], abgefragt 3.2.2024.</ref>
| |
| − | | |
| − | Die Varianz ist ein nicht relativiertes Streuungsmaß.<ref>[https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/varianz-49184 Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Varianz], abgefragt 3.2.2024.</ref> Wenn also der Mittelwert in Meter berechnet wird, beträgt die Varianz Quadratmeter. '''mit wem kann ich das besprechen?'''
| |
| − | | |
| − | <u>Berechnung</u><ref>Aus Hackl ua (1982), S. 17.</ref>
| |
| − | | |
| − | :<math>s^2= \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2</math>
| |
| − | | |
| − | <u>Excel</u>
| |
| − | * Die ''Varianz der Grundgesamtheit'' lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.<ref>[https://support.microsoft.com/de-de/office/var-p-funktion-73d1285c-108c-4843-ba5d-a51f90656f3a Microsoft Support, Stichwort: Var.p], abgefragt 3.2.2024.</ref>
| |
| − | * Die ''Varianz der Stichprobe'' lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.S() ermitteln.<ref>[https://support.microsoft.com/de-de/office/var-s-funktion-913633de-136b-449d-813e-65a00b2b990b Microsoft Support, Stichwort: Var.s], abgefragt 3.2.2024.</ref>
| |
| − | | |
| − | <s> ''NN''<ref>Aus
| |
| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
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| − | <!--
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| − | <math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | | Variable
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| − | | =
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| − | | '''Ergebnis'''
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| − | |}
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| − | <small>
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | | <math> {NN} </math>
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| − | | [[Variable]]
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| − | |-
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| − | |}
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| − | </small> -->
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| − | | |
| − | <u>Literatur</u>
| |
| − | * Hackl ua (1982), S. 17;
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| − | | |
| − | <u>Weblinks</u>
| |
| − | | |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Empirische_Varianz Empirische Varianz bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz Varianz bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/varianz-49184 Varianz bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
| |
| − | * [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_variance.html Varianz bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik) Varianz (Stochastik) bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | <s><ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | === Standardabweichung ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Empirische_Varianz#Empirische_Standardabweichung </u>''
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| − | Als empirische Standardabweichung[1] auch Stichprobenstreuung[3] oder Stichprobenstandardabweichung[1] genannt, wird die Wurzel aus der empirischen Varianz gemäß Formel (1)-(3) bezeichnet
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| − | | |
| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik) </u>''
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| − | Die Quadratwurzel der Varianz ist das als Standardabweichung bezeichnete wichtigste Streuungsmaß in der Stochastik.
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| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/standardabweichung-43091 </u>''
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| − | Ausführliche Definition im Online-Lexikon
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| − | | |
| − | positive Wurzel aus der Varianz. Die Standardabweichung ist weit verbreitet als (absolutes) Streuungsmaß. Sie hat dieselbe Dimension wie die Merkmalswerte selbst.
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| − | | |
| − | ''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_standarddev.html </u>''
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| − | Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz und wird mit s für Proben, bzw. mit σ für Grundgesamtheiten bezeichnet. Die Standardabweichung ist mathematisch gesehen einfach und deshalb ein nützliches Maß für die Variabilität:
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| − | | |
| − | Es gibt manchmal einige Verwirrungen bezüglich der Standardabweichung und ihrer Interpretation. Man sollte vorsichtig zwischen der formalen Definition der Standardabweichung und deren Interpretation unterscheiden. Die Standardabweichung kann als Zahlenwert immer berechnet werden, vorausgesetzt, es sind genügend Proben verfügbar. Im Gegenteil dazu kann die Interpretation der Standardabweichung als ein Maß der Breite nur dann vollständig verwendet werden, wenn der Typ der Verteilung bekannt ist. Das Theorem von Tschebyscheff gibt jedoch einige Richtlinien für jede beliebige (!) Verteilung.
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| − | <u>Berechnung</u><ref>Aus
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
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| − | | [[Variable]]
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| − | <u>Excel</u>
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| − | * NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
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| − | Microsoft Support, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <u>Literatur</u>
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| − | <u>Weblinks</u>
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| − | * [
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | <ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | === Variationskoeffizient ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
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| − | ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Empirische_Varianz#Empirischer_Variationskoeffizient </u>''
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| − | Der [[Empirischer Variationskoeffizient|empirische Variationskoeffizient]] ist ein dimensionsloses Streuungsmaß (nicht einheitenbehaftet) und drückt <math>s</math> in Prozent des empirischen Mittelwerts <math>\overline x</math> aus.<ref>Beyer 1988: Kapitel 3.1.1.3. Statistische Maßzahlen, S. 120</ref>
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| − | | |
| − | :<math>v = \frac{s}{\bar{x}} \cdot 100 \, \%</math>
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| − | | |
| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Variationskoeffizient </u>''
| |
| − | Der Variationskoeffizient (auch: Abweichungskoeffizient) ist eine statistische Kenngröße in der deskriptiven Statistik und der mathematischen Statistik. Im Gegensatz zur Varianz ist er ein relatives Streuungsmaß, das heißt, er hängt nicht von der Maßeinheit der statistischen Variable bzw. Zufallsvariablen ab. Er ist nur sinnvoll für Messreihen mit ausschließlich positiven (oder ausschließlich negativen) Werten oder Messreihenvergleichen.[1]
| |
| − | | |
| − | Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem Mittelwert bzw. eine Zufallsvariable mit großem Erwartungswert im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittel- bzw. Erwartungswert. Da die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung nicht normiert sind, kann ohne Kenntnis des Mittelwerts nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 50 Cent kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren.
| |
| − | | |
| − | Der Variationskoeffizient ist eine Normierung der Varianz: Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.
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| − | | |
| − | Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten.
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| − | | |
| − | Der Variationskoeffizient wird manchmal auch mit Vco {\displaystyle \operatorname {Vco} } oder CV {\displaystyle \operatorname {CV} } abgekürzt.
| |
| − | | |
| − | ;Definition
| |
| − | Der Variationskoeffizient <math>\operatorname{VarK}</math> für eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math> mit [[Erwartungswert]] <math>\operatorname{E}(X) \neq 0</math> ist definiert als die relative [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]], das heißt die Standardabweichung dividiert durch den Erwartungswert der Zufallsvariablen, in Formeln
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| − | | |
| − | :<math>
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| − | \operatorname{VarK}(X) =
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| − | \frac{\mathrm{Standardabweichung}(X)}{\mathrm{Erwartungswert}(X)} =
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| − | \frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)}
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| − | </math>.
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| − | | |
| − | Der Variationskoeffizient wird häufig in [[Prozent]] angegeben.
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| − | | |
| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/variationskoeffizient-49581 </u>''
| |
| − | relatives Streuungsmaß, das als Quotient aus empirischer Standardabweichung und arithmetischem Mittel definiert ist.
| |
| − | | |
| − | ''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_coeff_variation.html </u>''
| |
| − | Spezifiziert man nur die Standardabweichung, kann man wenig über eine Verteilung aussagen, da diese u.a. von den absoluten Maßzahlen der Messungen (z.B. Messungen in mm oder km) abhängt. Es macht natürlich einen erheblichen Unterschied, ob eine Standardabweichung von 5 bei einem Mittelwert von = 100 oder einem Mittelwert von = 3 auftritt. Am einfachsten kann man dieses Problem durch den Bezug der Standardabweichung auf den Mittelwert lösen. Wir definieren darum den Variationskoeffizienten durch
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| − | | |
| − | ,
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| − | | |
| − | das nun ein relatives Maß der Standardabweichung darstellt. Wie auch immer, man sollte sich immer im Klaren sein, dass der Variationskoeffizient mehr oder weniger unbrauchbar wird, wenn der Mittelwert gegen Null geht. Man sollte daher den Variationskoeffizienten keineswegs z.B. für den Vergleich von Nachweisgrenzen verwenden (für die gilt, dass das Signal/Rausch-Verhältnis kleiner als 3 ist).
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| − | <u>Berechnung</u><ref>Aus
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| − | <math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
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| − | <u>Excel</u>
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| − | * NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
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| − | Microsoft Support, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <u>Literatur</u>
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| − | * [
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | <ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | <ref>[
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | === Interquartilsabstand ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Interquartilsabstand
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| − | ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Interquartilsabstand_(deskriptive_Statistik) </u>''
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| − | Der Interquartilsabstand,[1] auch kurz Quartilsabstand genannt[2] und mit IQA[1] oder IQR (nach der englischen Bezeichnung interquartile range)[3] abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.
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| − | | |
| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/mittlerer-quartilsabstand-36941 </u>''
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| − | gelegentlich verwendetes Streuungsmaß, das als halbe Differenz von drittem und erstem Quartil festgelegt ist. '''wieso halbe?'''
| |
| − | | |
| − | ''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_iqr.html </u>''
| |
| − | Ebenso wie mit Mittelwert und Standardabweichung können Verteilungen auch mittels Median und einer Reihe von Quantilen rund um den Median beschrieben werden. Besonders der Interquartilsabstand (engl. inter-quartile range, IQR) wird zur Beschreibung der Streuung von Daten verwendet:
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| − | | |
| − | Der Interquartilsabstand ist als der Abstand zwischen dem ersten und dem dritten Quartil definiert. Es ist zu beachten, dass der IQR genau 50 % der Daten innerhalb der Verteilung enthält.
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| − | <u>Excel</u>
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| − | * NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
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| − | Microsoft Support, Stichwort:
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| − | <u>Literatur</u>
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| − | * [
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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| − | NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | <ref>
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| − | </ref>
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| − | <ref>[
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | === Spannweite ===
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Spannweite
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| − | ''Hauptartikel-> [[]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Spannweite_(Statistik) </u>''
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| − | Die Spannweite (englisch range) ist ein Streuungsmaß in der Statistik.
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| − | | |
| − | ;Definition
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| − | Die Spannweite berechnet sich als Abweichung zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert:<ref>Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: ''Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R.'' 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 83</ref>
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| − | | |
| − | :<math> R = x_\mathrm{max} - x_\mathrm{min} </math>
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| − | | |
| − | Die Spannweite ist nicht [[Robuste Schätzverfahren|robust]] gegenüber [[Ausreißer]]n, sie hängt nur von den Extremwerten ab und verliert bei zunehmendem Stichprobenumfang an Informationsgehalt. Sie wird daher vor allem bei kleinen Stichprobenumfängen genutzt. Sie hat die gleiche Maßeinheit wie die Messwerte selbst. Damit die Differenzbildung sinnvoll ist, müssen diese metrisches [[Skalenniveau]] haben.
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| − | | |
| − | Die Spannweite kann in verschiedener Art und Weise genutzt werden, um Standardabweichungen zu schätzen und obere Grenzen für Standardabweichungen anzugeben.
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| − | | |
| − | ''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/spannweite-43726 </u>''
| |
| − | bei einer Gesamtheit, bei der ein quantitatives Merkmal interessiert, die Differenz aus größter und kleinster Ausprägung. Die Spannweite wird in der statistischen Qualitätskontrolle (Qualitätssicherung) als einfaches Streuungsmaß verwendet, ist aber stark abhängig von der Güte der Daten (Ausreißer).
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| − | ], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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| − | * [
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | | [[Variable]]
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| − | <u>Literatur</u>
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | Wikipedia, Stichwort:
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| − | Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
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| − | Grundlagen Statistik, Stichwort:
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| − | == Erwartungswert ==
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| − | <!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
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| − | ''Hauptartikel-> [[Erwartungswert]]''
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| − | * Synonyme: ''[[]]''
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| − | ''siehe auch-> [[]]''
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| − | '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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| − | ''<u>Kruschwitz ua 58</u>''
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| − | Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider. Das ist typischerweise jene Realisation, die mit der größten
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| − | Wahrscheinlichkeit l).Uftritt. Daher pflegt man man bei der Unternehmensbewertung
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| − | davon auszugehen, dass die zukünftige Rendite ihrem Erwartungswert entspricht.
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| − | Wie aber lässt sich dieser Erwartungswert bestimmen? __ Solange wir nur eine Stiehpf;;-b~ aus alle;-R.~ili~ationen der VerteÜwg'fs. kennen, bleibt uns der Erwartungswert grundsätzlich unbekannt. Wir können ihn bestenfalls schätzen. Hier hilft nun die Annahme weiter, dass die Renditen des zu bewertenden Unternehmens stationär sind. Unter dieser Bedingung können wir nämlich das arithmetische Mittel der beobachteten Renditen verwenden und mit einiger Gewissheit darauf vertrauen, dass dieses arithmetische Mittel einen brauchbaren Anhaltspunkt für den Erwartungswert der Renditen darstellt.79
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| − | ''<u>[[Erwartungswert]] </u>''
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| − | Der Erwartungswert ist die Summe aller möglichen Umweltzustände multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeit. Er bezeichnet jenen Wert der bei einer großen Anzahl von Versuchen ergibt.[1] Erwartungswert bei Wikipedia, abgefragt am 12.6.2017, '''nicht mehr aktuell''
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| − | ''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert </u>''
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| − | Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert ist eine Kennzahl einer Zufallsvariablen. Bei einer engeren Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle Zahl und damit endlich; bei einer weiteren Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die Werte ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } zugelassen. Es gibt Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert definiert ist.
| |
| − | | |
| − | Hat eine Zufallsvariable einen endlichen Erwartungswert, so wird dieser häufig mit μ {\displaystyle \mu } abgekürzt; er beschreibt dann die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergieren.
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| − | | |
| − | Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der „wahre“ Mittelwert einer Zufallsvariablen (Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } immer gleich.
| |
| − | Siehe auch: Lageparameter (deskriptive Statistik)
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| − | | |
| − | Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein.
| |
| − | | |
| − | Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von deren Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.
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| − | <math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
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| − | <u>Literatur</u>
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | <u>Literatur</u>
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| − | <u>Weblinks</u>
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| − | https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert
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| − | | [[Variable]]
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| − | <u>Literatur</u>
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| − | <u>Weblinks</u>
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| − | https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | === Gesetz ===
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| − | " *)mwN <small>ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben</small>
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| − | | |
| − | <s>* Aschauer / Purtscher (2023), S. ;
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| − | * Bachl (2018), S. ;
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| − | * Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
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| − | * Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
| |
| − | * Ihlau / Duscha (2019), S. ;
| |
| − | * Mandl / Rabel (1997), S. ;
| |
| − | * WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
| |
| − | * WPH-Edition (2018), Rz. A ;</s>
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| − | | |
| − | * Kruschwitz ua (2009), S. 56 ff;
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| − | | |
| − | Zu Lit
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| − | ''Kruschwitz ua (2009):'' Kruschwitz ua, "Unternehmensbewertung für die Praxis", Schäffer-Poeschel 2009;
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| − | === Judikatur ===
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| − | === Unterlage(n) ===
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| − | <small> Sortiert nach Dateiname </small>
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| − | <s>* Hager: ''Auffrischung mathematischer Grundkenntnisse'', Basisseminar BFA, [[Datei:Mathematik-Auffrischung.pdf]], Stand August 2023;</s>
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| − | === Folien ===
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| − | ''siehe auch -> [[Liste der verwendeten Literatur]]''
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| − | '''ev''', [[Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole]], [[Liste der verwendeten Formeln]]
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| − | <!-- [[Liste der verwendeten Gesetze und Erlässe]], [[Liste englische Fachausdrücke]], -->
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| − | == Weblinks ==
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| − | <small> </small> <u> </u> <s> </s> <!-- -->
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| − | | |
| − | * [
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| − | NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
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| − | * [
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| − | NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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| − | | |
| − | == Einzelnachweise==
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| − | <references />
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| − | | |
| − | <nowiki>
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| − | [[Kategorie:Mathematischer Begriff]]
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| − | </nowiki>
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