Statistik

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Statistik[1] ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten. [2]

Die Statistik beschäftigt sich mit unter gleichen Rahmenbedingungen wiederholt beobachtbare Vorgänge (Massenphänomenen). Ihre Aussagen sind auf die Grundgesamtheit gerichtet. Meist werden nicht alle Objekte und ihre Ausprägungen erhoben (Vollerhebung), sondern nur eine Stichprobe.[3]

Wissenschaftliche Einordnung

Die Statistik bildet gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie die Stochastik.[4] Sie stellt aber auch einen eigenständiger Teilbereich der Mathematik (Mathematische Statistik) dar.[5] Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, zB Ökonometrie.[6]

Die Statistik wird manchmal unterteilt:

  • beschreibende Statistik (deskriptive Statistik): In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll. [7]
  • beurteilende Statistik (schließende Statistik): In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik. [8]

Stochastik

Stochastik [9] ist der Oberbegriff für Wahrscheinlichkeitstheorie und für Statistik . [10] Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Weblinks

Ökonometrie

Die Ökonometrie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die ökonomische Theorie sowie mathematische Methoden und statistische Daten zusammenführt, um wirtschaftstheoretische Modelle empirisch zu überprüfen und ökonomische Phänomene quantitativ zu analysieren. [11]

Weblinks

Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Analyse von zufälligen Phänomenen Wahrscheinlichkeit beschäftigt.[12]

Die Wahrscheinlichkeitstheorie nützt das Wissen über alle möglichen Ergebnisse eines Experiments, auch Grundgesamtheit genannt, um auf die Wahrscheinlichkeit besonderer Ergebnisse zu schließen. Die Statistik versucht den umgekehrten Weg zu gehen, indem sie eine endliche Zahl an Beobachtungen verwendet, um einen Schluss über die ganze Grundgesamtheit zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft diese Schlüsse zu überprüfen und stellt Richtlinien für den Experimentaufbau zu einer bestimmten Frage auf. [13]

Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind:[14]

Weblinks

Kombinatorik

Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Kombinatorik werden Anzahlberechnungen von möglichen Kombinationen durchgeführt.[15] Ein Hilfsmittel ist das Urnenmodell.

Weblinks

Bedeutung

Wichtige Kenngrößen

In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen. [16]

Arten:

Lageparameter

Hauptartikel-> Lageparameter

Lageparameter geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen.

Mitte der Datenmenge
Hauptartikel-> Mittelwert, Median, Modalwert

Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:

Extremwerte
Hauptartikel-> Extremwert

siehe auch-> Spannweite

Extremwerte sind das Minimum und das Maximum.

Ausreißer
Hauptartikel-> Ausreißer

Ausreißer sind Werte, die sich von den anderen Werten der Stichprobe abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der linearen Regression) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.[17]

Quantil
Hauptartikel-> Quantil

Ein Quantil ist ein Lagemaß, das in der Wahrscheinlichkeitsverteilung links die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] und rechts die Wahrscheinlichkeit [math]{1-p}[/math] angibt. [18] Im Box-Plot ist das untere und obere Quartil als Endpunkte der Box ersichtlich.

Spezielle Quantile sind:

  • Median p = 50%
  • Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
  • Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.
Darstellung (Box-Plot)
Box-Plot; ex Wikimedia, erst. RobSeb
Hauptartikel-> Box-Plot
  • Synonyme: Kastengrafik, Schachteldiagramme

Box-Plots (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.

Streuungsparameter

Hauptartikel-> Streuungsparameter
  • Synonyme: Streuungsmaß

Die Streuungsparameter (Streuungsmaße) sind Meßzahlen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben.

Wichtige Streuungsparameter:

  • Varianz,
  • Standardabweichung,
  • Variationskoeffizient,
  • Interquartilsabstand und
  • Spannweite.
Varianz
Hauptartikel-> Varianz

Die Varianz ([math]\sigma^2[/math]) ergibt sich aus der quadratischen Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.

Standardabweichung
Hauptartikel-> Standardabweichung

Die Standardabweichung [math]\sigma [/math] ist die Wurzel der Varianz.

Variationskoeffizient
Hauptartikel-> Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient [math]{VCo} [/math] ist das Verhältnis zwischen Standardabweichung und (arithmetischem) Mittelwert.

Interquartilsabstand
Hauptartikel-> Interquartilsabstand

siehe auch-> Box-Plot

Der Interquartilsabstand [math]{IQA} [/math] stellt den Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil dar. In seiner Mitte befindet sich der Median. Er enthält genau 50% der Datensätze.


Spannweite
Hauptartikel-> Spannweite

siehe auch-> Extremwert

Die Spannweite [math] R [/math] zeigt die Abweichung zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert.

Erwartungswert

Hauptartikel-> Erwartungswert

Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider.[19] Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. [20]

Gestaltparameter

Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt:

Schiefe

Linksschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.
Rechtsschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Schiefe ist in der Statistik die Bezeichnung für die Eigenschaft einer Verteilung asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet rechtsschiefe (linkssteile, positive Schiefe) und linksschiefe (rechtssteile, negative Schiefe) Verteilungen (Diagramme). [21] rechts (rechtssteil, linksschief) oder nach links (linkssteil, rechtsschief)

Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.[22]

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 24.7.2024.</ref>

  • rechtsschief: [math]x_\text{mod} \lt x_\text{med} \lt \overline{x} [/math]
  • symmetrisch: [math]x_\text{mod} = x_\text{med} = \overline{x}[/math]
  • linksschief: [math]x_\text{mod} \gt x_\text{med} \gt \overline{x}[/math]

Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen.

Weblinks

Wölbung

Steilgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.
Flachgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Wölbung (Kurtosis) ist eine Maßzahl für die Steilheit / flachheit einer unimodalen (eingipfligen) Verteilung.[23] Die Differenz der Wölbung der betrachteten Verteilung zur Normalverteilung wird als Exzess bezeichnet.

Weblinks

Grundgesamtheit / Stichprobe

Zwei wichtige Begriffe sind

Grundgesamtheit

Eine Grundgesamtheit ist die Menge aller möglichen Objekte über die man eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann begrenzt oder unbegrenzt sein. Die Grundgesamtheit, die die Grundlage einer statistischen Untersuchung bildet, muss immer exakt definiert sein. Nur so ist es möglich, vergleichbare Ergebnisse zu bekommen. Am besten man definiert neben den sachlichen Bedingungen ("was soll untersucht werden") auch noch die örtlichen und zeitlichen Rahmenbedingungen.[24]

Die Grundgesamtheit kann erhoben werden:

  • Vollerhebung oder
  • Stichprobe.

Weblinks

Stichprobe

Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit; ihre Größe ist immer begrenzt. [25]

Die Formeln der Grundgesamtheit gelten nicht für die Stichprobe. [26]

Eine Stichprobe muss nicht notwendigerweise für eine Grundgesamtheit repräsentativ sein. Eine repräsentative Stichprobe zeigt dieselben Eigenschaften wie die Population. [27]

Auswahl der Stichprobe:[28]

  • Zufallsstichprobe
  • systematische Auswahl
  • willkürliche Auswahl

Bei einer Zufallsauswahl hat jedes Element der Grundgesamtheit eine angebbare (meist die gleiche) Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen (Einschlusswahrscheinlichkeit). Eine Zufallsstichprobe ist notwendig, wenn die Stichprobe repräsentativ sein soll.[29] Aus einer repräsentativen Stichprobe kann eine Hochrechnung, dh eine geschätzte Extrapolation eines Gesamtergebnisses aus einem Teilergebnis, vorgenommen werden.

Bei einer systematischen Stichprobenziehung werden bereits bekannte Informationen über die auszuwählenden Fälle genutzt,[30] zB wenn die Kundenwünsche erhoben werden sollen, kann man sich auf die Zielgruppe beschränken.

Bei willkürlichen Stichproben werden Elemente aus der Grundgesamtheit (etwa von einem Interviewer) mehr oder weniger willkürlich in die Stichprobe aufgenommen, oft gemäß Praktikabilität. Die Auswahl liegt im Ermessen der Forschers. Stichproben mit willkürlichem Auswahlprinzip werden oft gewählt, da sie mit dem geringsten Aufwand und den geringsten Kosten verbunden sind, weisen aber oft große Verzerrungen auf. [31]

Weblinks

(Wahrscheinlichkeits)Verteilung

Verteilung bezeichnet eine empirische Häufigkeitsverteilung oder die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, die etwa durch eine Verteilungsfunktion, eine Dichtefunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben wird.[32]

Arten:[33]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 296 ff;
  • Hackl ua (1982), S. 76 f;

Weblinks

Diskrete Verteilungen

siehe auch-> diskrete Zufallsvariable

Als diskrete Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf endlichen oder abzählbar unendlichen Grundräumen bezeichnet.[34] Zufallsvariablen, deren Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als diskrete Zufallsvariablen bezeichnet.

Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind:[35]

Literatur

  • Hackl ua (1982), S. 92 ff;

Weblinks

Stetige Verteilungen

siehe auch-> stetige Zufallsvariable

Als stetige Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf unendliche Grundräumen bezeichnet. *)

Zufallsvariablen, deren Verteilung eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als stetige Zufallsvariablen bezeichnet.

Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind:[37]

Literatur

  • Hackl ua (1982), S. 98 ff;

Weblinks

Statistische Fehler

Eine Hypothese beizeichnet in der Statistik eine Annahme, die mit Methoden der mathematischen Statistik auf Basis empirischer Daten geprüft wird. Dabei können zwei Entscheidungsfehler (statistische Fehler) unterlaufen:

  • Fehler 1. Art (Alpha-Fehler): die Hypothese wird abgelehnt, obwohl sie stimm.
  • Fehler 2. Art (Beta-Fehler): die Hypothese wird angenommen, obwohl sie nicht stimmt.

Weblinks

Literatur

Fachliteratur

  • Hackl ua (1982);
  • Kruschwitz ua (2009a), S. 56 ff;

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Von fr. "statistique" = (Staats)Wissenschaft", dieses baiert auf lat. "status" = "Stand, Beschaffenheit, Umstände, Verfassung"; Wiktionary, Stichwort: Statisik, abgefragt 24.7.2024.
  2. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stochastik, abgefragt 24.7.2024.
  3. ↑ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Statistik, abgefragt 24.7.2024.
  4. ↑ Wikipedia, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie, abgefragt 24.7.2024.
  5. ↑ Wikipedia, Stichwort: Mathematik, abgefragt 24.7.2024.
  6. ↑ Wikipedia, Stichwort: Statistik, abgefragt 24.7.2024.
  7. ↑ Vgl. Wikipedia, Stichwort: Stochastik und Wikipedia, Stichwort: Deskriptive Statistik, beide abgefragt 24.7.2024.
  8. ↑ Vgl. Wikipedia, Stichwort: Stochastik und Wikipedia, Stichwort: Mathematische Statistik, beide abgefragt 24.7.2024.
  9. ↑ Von altgr. "stochastikē technē" = "zum Zielen, zum Erraten gehörende Kunst"; Vgl. Wiktionary, Stichwort: Stochastik, abgefragt 24.7.2024.
  10. ↑ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Stochastik, abgefragt 24.7.2024.
  11. ↑ Wikipedia, Stichwort: Ökonometrie, abgefragt 24.7.2024.
  12. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie, abgefragt 24.7.2024.
  13. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie, abgefragt 24.7.2024.
  14. ↑ Wikipedia, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie, abgefragt 24.7.2024.
  15. ↑ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Kombinatorik, abgefragt 24.7.2024.
  16. ↑ Wikipedia, Stichwort: Parameter (Statistik), abgefragt 24.7.2024.
  17. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Ausreißer, abgefragt 24.7.2024.
  18. ↑ Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil, abgefragt 24.7.2024.
  19. ↑ Kruschwitz u.a. (2009), S. 58.
  20. ↑ Vgl. Wikipedia, Stichwort: Erwartungswert, abgefragt 24.7.2024.
  21. ↑ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Schiefe, abgefragt 24.7.2024.
  22. ↑ Formel vgl. Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 24.7.2024.
  23. ↑ Wikipedia, Stichwort: Wölbung (Statistik), abgefragt 24.7.2024.
  24. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe, abgefragt 24.7.2024.
  25. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe, abgefragt 24.7.2024.
  26. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe, abgefragt 24.7.2024.
  27. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe, abgefragt 24.7.2024.
  28. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stichprobe, abgefragt 24.7.2024.
  29. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stichprobe, abgefragt 24.7.2024.
  30. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stichprobe, abgefragt 24.7.2024.
  31. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stichprobe, abgefragt 24.7.2024.
  32. ↑ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Verteilung, abgefragt 24.7.2024.
  33. ↑ Vgl. Wikipedia, Stichwort: Wahrscheinlichkeitsmaß, abgefragt 24.7.2024.
  34. ↑ Wikipedia, Stichwort: Wahrscheinlichkeitsmaß, abgefragt 24.7.2024.
  35. ↑ Hackl ua (1982), S. 92 ff.
  36. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Diskrete Verteilungen, abgefragt 24.7.2024.
  37. ↑ Hackl ua (1982), S. 98 ff.
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