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<!-- Als Quartil wird bezeichnet:
 
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* Kennzahl einer Stichprobe, siehe Empirisches Quantil#Spezielle Quantile
 
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* Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, siehe Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Besondere Quantile -->
 
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<s>''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Empirisches_Quantil </u>'' </s>
 
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<!-- Ein empirisches ( p {\displaystyle p}-)Quantil, auch Stichprobenquantil oder kurz Quantil genannt, ist in der Statistik eine Kennzahl einer Stichprobe. Für jede Zahl p {\displaystyle p} zwischen 0 und 1 teilt – vereinfacht dargestellt – ein empirisches p {\displaystyle p}-Quantil die Stichprobe so, dass ein Anteil der Stichprobe von p {\displaystyle p} kleiner als das empirische p {\displaystyle p}-Quantil ist und ein Anteil von 1 − p {\displaystyle 1-p} der Stichprobe größer als das empirische p {\displaystyle p}-Quantil ist. Ist beispielsweise eine Stichprobe von Schuhgrößen gegeben, so ist das empirische 0,35-Quantil diejenige Schuhgröße s {\displaystyle s}, so dass 35 % der Schuhgrößen in der Stichprobe kleiner als s {\displaystyle s} sind und 65 % größer als s {\displaystyle s} sind.
 
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Einige empirische p {\displaystyle p}-Quantile tragen Eigennamen. Zu ihnen gehören der Median ( p = 0 , 5 {\displaystyle p=0{,}5}), das obere Quartil und das untere Quartil sowie die Terzile, Quintile, Dezile und die Perzentile.
 
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Von den hier besprochenen empirischen Quantilen sind die Quantile (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) zu unterscheiden. Diese sind Kennzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und damit einer abstrakten (Mengen-)Funktion (ähnlich dem Erwartungswert), während die empirischen Quantile Kennzahlen einer Stichprobe sind (ähnlich dem arithmetischen Mittel).
 
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Eine bekannte Darstellung und Veranschaulichung empirischer Quantile ist die Parade der Einkommen (Pen’s Parade) des Ökonomen Jan Pen zur Einkommensverteilung. 
 
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;Quartil
 
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Als Quartile werden die beiden Quantile mit p = 0 , 25 {\displaystyle p=0{,}25} und p = 0 , 75 {\displaystyle p=0{,}75} bezeichnet. Dabei heißt das 0 , 25 {\displaystyle 0{,}25}-Quantil das untere Quartil und das 0 , 75 {\displaystyle 0{,}75}-Quantil das obere Quartil. Zwischen oberem und unterem Quartil liegt die Hälfte der Stichprobe, unterhalb des unteren Quartils und oberhalb des oberen Quartils jeweils ein Viertel der Stichprobe. Auf Basis der Quartile wird der Interquartilsabstand definiert, ein Streuungsmaß.
 
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;Perzentil
 
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Als Perzentile werden die Quantile von 0 , 01 {\displaystyle 0{,}01} bis 0 , 99 {\displaystyle 0{,}99} in Schritten von 0 , 01 {\displaystyle 0{,}01} bezeichnet. -->
 
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<s>''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie) </u>''  </s>
 
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<!-- Ein Quantil (anhörenⓘ/?) ist ein Lagemaß in der Statistik für Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder gleichwertig für Zufallsvariablen. Auch die empirische Schätzung eines Quantils aus einer Zufallsstichprobe wird Quantil genannt. Ein p {\displaystyle p}-Quantil teilt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in einen linken Teil mit der Wahrscheinlichkeit p {\displaystyle p} und einen rechten Teil mit der Wahrscheinlichkeit 1 − p {\displaystyle 1-p}. Für ein empirisches Quantil gilt: Ein bestimmter Anteil der beobachteten Werte, z. B. der Werte aus einer Zufallsstichprobe, ist kleiner als das Quantil, der Rest ist größer. Das 25-%-Quantil beispielsweise ist der Wert, für den gilt, dass 25 % aller Werte kleiner oder gleich diesem Wert sind. Empirische Quantile formalisieren praktische Aussagen wie „25 % aller Frauen sind kleiner als 1,62 m“ – hierbei ist 1,62 m das 25-%-Quantil.
 
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Genauer ist das p {\displaystyle p}-Quantil, wobei p {\displaystyle p} eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist, ein Wert einer Variablen oder Zufallsvariablen, der die Menge aller Merkmalswerte (salopp „die Verteilung“) in zwei Abschnitte unterteilt: Links vom p {\displaystyle p}-Quantil liegt der Anteil p  ( = 100 p % ) {\displaystyle p\ (=100p\,\%)} aller Beobachtungswerte oder der Gesamtzahl der Zufallswerte oder der Fläche unter der Dichtekurve; rechts davon liegt der jeweilige restliche Anteil 1 − p  ( = 100 ( 1 − p ) % ) {\displaystyle 1-p\ (=100(1-p)\,\%)}. Die Zahl p {\displaystyle p} heißt auch der Unterschreitungsanteil.
 
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Spezielle Quantile sind der Median, die Quartile, die Quintile, die Dezile und die Perzentile.
 
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Als Quantil der Ordnung p {\displaystyle p} oder p {\displaystyle p}-Quantil Q ( p ) {\displaystyle Q(p)} (veraltet auch „Fraktil“) wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil p {\displaystyle p} aller Fälle der Verteilung liegt. Jeder Wert unterhalb von Q ( p ) {\displaystyle Q(p)} unterschreitet diesen vorgegebenen Anteil. Dabei kann der Unterschreitungsanteil p {\displaystyle p} auch als eine reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle bzw. 100 % der Verteilung) angegeben werden.
 
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;Quartil
 
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Darstellung des Interquartilabstands einer Normalverteilung
 
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Quartile (lateinisch „Viertelwerte“) sind die Quantile Q 0 , 25 {\displaystyle Q_{0{,}25}} (0,25-Quantil), Q 0 , 5 {\displaystyle Q_{0{,}5}} (0,5-Quantil = Median) und Q 0 , 75 {\displaystyle Q_{0{,}75}} (0,75-Quantil), die auch als Q1 („unteres Quartil“), Q2 („mittleres Quartil“) und Q3 („oberes Quartil“) bezeichnet werden. Sie sind die in der Statistik mit am häufigsten verwendete Form der Quantile.
 
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Der (Inter-)Quartilabstand oder auch (Inter-)Quartilsabstand (englisch interquartile range) bezeichnet die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also Q 0 , 75 − Q 0 , 25 {\displaystyle Q_{0{,}75}-Q_{0{,}25}}, und umfasst daher 50 % der Verteilung. Der Quartilabstand wird als Streuungsmaß verwendet.
 
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Siehe auch: Streuung (Statistik)
 
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;Perzentil
 
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Durch '''Perzentile (lateinisch „Hundertstelwerte“), auch Prozentränge genannt, wird die Verteilung in 100 umfangsgleiche Teile zerlegt. Perzentile teilen die Verteilung also in 1-%-Segmente auf. Daher können Perzentile als Quantile betrachtet werden, bei denen 100 ⋅ p {\displaystyle 100\cdot p} eine ganze Zahl ist. So entspricht das Quantil Q 0 , 97 {\displaystyle Q_{0{,}97}} dem Perzentil P97, unterhalb dieses Punktes liegen 97 % aller Fälle der Verteilung.  -->
 
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<s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/quantil-der-ordnung-p-45258 </u>''  </s>
 
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<!-- Spezielle Quantile der Ordnung p sind der Median (0,50-Quantil), das untere Quartil (0,25-Quantil), das obere Quartil (0,75-Quantil) sowie die Dezentile (0,10-, ... , 0,90-Quantil -->
 
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<s>''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_fractile.html </u>''  </s>
 
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<!-- Eine weitere numerische Beschreibung für die Spannweite von Frequenzverteilungen ist das Quantil (früher auch Fraktil genannt). Ein p-Quantil entspricht demjenigen x-Wert der Verteilung, der p*N Beobachtungen einschließt, mit 0<p<1 und N gleich der Anzahl der Beobachtungen.
 
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Ein Beispiel soll dies verdeutlichen: Das 0.1-Quantil der unten gezeigten Verteilung ist 14.6, da sie 10 % von allen Beobachtungen (von links begonnen) beinhaltet.
 
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Das p-Quantil wird auch P-Perzentil (mit P=p*100) genannt; ein 0.12-Quantil könnte man auch als 12-Perzentil bezeichnen.
 
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Es gibt einige spezielle Quantile, die eigene Namen haben. Quartile bezeichnen die Viertel einer Verteilung, Dezile die Zehntel:
 
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    1. Quartil = 0.25-Quantil
 
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    2. Quartil = 0.5-Quantil = 5. Dezil = Median
 
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    3. Quartil = 0.75-Quantil -->
 
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<s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/quartil-44348 </u>''  </s>
 
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<!-- ein Quantil der Ordnung 0,25 (erstes Quartil oder unteres Quartil), 0,50 (zweites Quartil oder Median), 0,75 (drittes Quartil oder oberes Quartil) einer Verteilung. -->
 
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<s>''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_quartile.html </u>''  </s>
 
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<!-- Quartile teilen, wie der Name suggeriert, die zugrundeliegende Verteilung in vier Viertel. Ein bestimmtes Quartil ist also die Grenze zwischen zwei bestimmten Vierteln der Verteilung.
 
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Die Berechnung von Quartilen ist manchmal (vor allem bei Stichproben deren Umfang nicht durch vier teilbar ist) unklar. Darum im Folgenden eine exakte Anleitung zur Berechnung von Quartilen, die allerdings nur eine von mehreren möglichen Varianten ist. Für eine Stichprobe von N Beobachtungen gilt ("round" steht für die Rundung):
 
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    1. Quartil: jener Wert der sortierten Reihenfolge der an x-ter Stelle steht, wobei für x gilt: x = round(0.25*(N+1))
 
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    2. Quartil (Median): falls N gerade, ist Q2 der Mittelwert der beiden Werte an den Stellen N/2 und N/2+1; falls N ungerade ist Q2 der Wert an der Stelle (N+1)/2
 
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    3. Quartil: jener Wert der sortierten Reihenfolge der an x-ter Stelle steht, wobei für x gilt: x = round(0.75*(N+1))  -->
 
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Ein '''Quantil''' ist ein [[Lagemaß]], das in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung] links die Wahrscheinlichkeit <math>p</math> und rechts die Wahrscheinlichkeit <math>{1-p}</math> angibt. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Empirisches_Quantil Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
Ein '''Quantil''' ist ein [[Lagemaß]], das in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung] links die Wahrscheinlichkeit <math>p</math> und rechts die Wahrscheinlichkeit <math>{1-p}</math> angibt. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Empirisches_Quantil Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil], abgefragt 3.2.2024.</ref>
  
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Als '''Perzentile''' werden die Quantile von 0 , 01 bis 0 , 99 in Schritten von 0,01 bezeichnet.  <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Empirisches_Quantil Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil], abgefragt 3.2.2024.</ref> Sie haben besonders Bedeutung für die [[Bandbreite]] der Unternehmensbewertung.
 
Als '''Perzentile''' werden die Quantile von 0 , 01 bis 0 , 99 in Schritten von 0,01 bezeichnet.  <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Empirisches_Quantil Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil], abgefragt 3.2.2024.</ref> Sie haben besonders Bedeutung für die [[Bandbreite]] der Unternehmensbewertung.
  
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<s><u>Berechnung</u><ref>Aus
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<u>Excel</u>
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], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
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Mit der Funktion QUARTIL() lassen sich diese berechnen.<ref>Vgl. [https://support.microsoft.com/de-de/office/quartile-funktion-93cf8f62-60cd-4fdb-8a92-8451041e1a2a Microsoft Support, Stichwort Quartille], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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''NN''<ref>Aus
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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<math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
 
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Version vom 6. Februar 2024, 06:50 Uhr

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Begriff (lö)

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Statistik Statistik „ist die Lehre von Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen“ (Daten).[1] Sie ist eine Möglichkeit, „eine systematische Verbindung zwischen Erfahrung (Empirie) und Theorie herzustellen“.[1] Unter Statistik versteht man die Zusammenfassung bestimmter Methoden zur Analyse empirischer Daten. Ein alter Ausdruck für „Statistik“ ist Sammelforschung.

Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, wie zum Beispiel der Medizin (Medizinische Statistik), der Psychologie (Psychometrie), der Politologie, der Soziologie, der Wirtschaftswissenschaft (Ökonometrie), der Biologie (Biostatistik), der Chemie (Chemometrie) und der Physik. Die Statistik stellt somit die theoretische Grundlage aller empirischen Forschung dar. Da die Menge an Daten in allen Disziplinen rasant zunimmt, gewinnt auch die Statistik und die aus ihr abgeleitete Analyse dieser Daten an Bedeutung. Andererseits ist die Statistik ein Teilgebiet der reinen Mathematik. Das Ziel der reinen mathematischen Statistik ist das Beweisen allgemeingültiger Aussagen mit den Methoden der reinen Mathematik. Sie bedient sich dabei der Erkenntnisse der mathematischen Grundlagendisziplinen Analysis und lineare Algebra.

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96konometrie

https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik

Statistik

→ Hauptartikel: Statistik

Statistik ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten. Dabei verbindet sie empirische Daten mit theoretischen Modellen. Man kann die Statistik unterteilen in die beschreibende Statistik (deskriptive Statistik) und die beurteilende Statistik (schließende Statistik).[21] In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll. In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik.[22] 

   Daten, Stichprobe, Grundgesamtheit, Häufigkeit (absolute, relative), Merkmal, Merkmalsausprägung
   Häufigkeitsverteilung, Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Stamm-Blatt-Diagramm
   explorative Datenanalyse, Minimum, Quartil, Quantil, Median, Maximum, Boxplot
   arithmetisches Mittel, geometrischer Mittelwert, harmonisches Mittel, gewichtetes Mittel
   Stichprobenvarianz, Stichprobenstandardabweichung, Abweichung, Spannweite
   Hypothesentest, Testen nach Bayes, Schätzen

eigene Der Begriff bezeichnet:

Begriff bedeutet.

[1] [2] [3] [4] [5]

Bedeutung

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

[6] [7] [8] [9] [10]

Wichtige Kenngrößen

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Deskriptive_Statistik

Kenngrößen (statistische Kennwerte)

→ Hauptartikel: Parameter (Statistik)

Drei Arten von Kenngrößen sind hauptsächlich von Interesse:

  • Lagemaße: als zentrale Tendenz einer Häufigkeitsverteilung. Aus der Lage der verschiedenen Werte für die zentrale Tendenz zueinander lassen sich Schiefe und Exzess einer Häufigkeitsverteilung bestimmen.
  • Streuungsmaße: für die Variabilität (Streuung oder Dispersion) einer Häufigkeitsverteilung und
  • Zusammenhangsmaße: für den Zusammenhang (auch: Korrelation) zweier Variablen.

Die Wahl der geeigneten Kenngrößen hängt vom Skalen- oder Messniveau der Daten und von der Robustheit der Kenngröße ab.


https://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_(Statistik)

eigene

[11] [12] [13] [14] [15]

Ermittlung / Berechnung

fe

Lageparameter

Hlf (Lage)

  • Weiterleitung: Lageparameter

siehe auch-> Mittelwert, Median, Modalwert 

 ev erg

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_measlocation.html

Man sollte beachten, dass der Mittelwert gegen Ausreißer empfindlich ist, hingegen Median und Quantile nicht. Der Median kann beinahe konstant bleiben, wenn bis zu 50 % der Daten verzerrt sind. Dieses Verhalten wird oft als die Robustheit eines Parameters bezeichnet. Sie können Experimente mit diesen drei Lagemaßen durchführen, indem sie das folgende interaktive Beispiel starten. zu Median

eigene Lageparameter geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen.

  • Zum einen die Mitte dh
  • den Mittelwert
  • den Median
  • den Modalwert
  • zum anderen die Extreme
  • Minimum
  • Maximum und
  • Ausreißer

Ein wichtiger Lageparameter sind die

  • Quantile

Lageparameter (Mittelwert) bestimmen die Ausprägung der Variablen.

;Mitte

Diese Werte berücksichtigen jedoch nur zT die Eintrittswahrscheinlichkeit. Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung mitzuberücksichtigen muss man den

Berechnung[16]

Mitte der Datenmenge

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> Mittelwert, Median, Modus
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:

erg Belastbarkeit

Berechnung[17]


Extreme (Min/Max)

  • Weiterleitung: ev Extremwert, Minimum, Maximum,

 (zT) ok

Extremwerte sind das

  • Minimum, das ist der kleinste und
  • Maximum, als größter Wert.

Während diese in der Kurvendiskussion durch die erste Ableitung erfolgt, wird in der Unternehmensbewertung der größe oder kleinste Wert der Grundgesamtheit / Stichprobe gesucht (Excel-Funktion: MIN, MAX).

Excel

  • Das Minimum wird in Excel mit der Funktion MIN() berechnet.[18]
  • Das Maximum wird in Excel mit der Funktion MAX() berechnet.[19]

Literatur

Weblinks

[20] [21] [22] [23] [24]

Ausreißer

  • Weiterleitung: Ausreißer

 (zT) ok

Ausreißer sind Extremwerte, die sich von den anderen Werten der Stichprobe abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der linearen Regression) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.[25]

Die "Erwartung" wird meistens als Streuungsbereich um den Erwartungswert besser Mittelwert/Median herum definiert, in dem die meisten aller Messwerte zu liegen kommen, z. B. der Quartilsabstand Q75 – Q25. Werte, die weiter als das 1,5-Fache des Quartilsabstandes außerhalb dieses Intervalls liegen, werden (meist willkürlich) als Ausreißer bezeichnet.[1] Im Box-Plot werden besonders hohe Ausreißer gesondert dargestellt. Die robuste Statistik beschäftigt sich mit der Ausreißerproblematik. Auch im Data-Mining beschäftigt man sich mit der Erkennung von Ausreißern. Von Ausreißern zu unterscheiden sind einflussreiche Beobachtungen. [26]

Ursache sind häufig Messfehler. Man behebt sie in dem man sie nicht ansetzt.

Berechnung

Es gibt verschiedene Ausreißertests (zB Ausreißertest nach Grubbs,[27] man kann sie einfach über den Boxplot erkennen: Wenn sie außerhalb der Whisker liegen handelt es sich um Ausreißer. Ausreißer verzerren den Mittelwert und die [lineare Regression. wirklich zwei Ereignisse oder Ursache/Wirkung?

Der Median ist robust gegen Ausreißer.

Literatur

Weblinks

[28] [29] [30] [31] [32]

Quantil

  • Weiterleitung: Quantil, Quartil, Perzentil

 (zT) ok

Ein Quantil ist ein Lagemaß, das in der Wahrscheinlichkeitsverteilung links die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] und rechts die Wahrscheinlichkeit [math]{1-p}[/math] angibt. [33]

Spezielle Quantile sind:

  • Median p = 50%
  • Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
  • Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.
Quartil

Quartile teilen, wie der Name suggeriert, die zugrundeliegende Verteilung in vier Viertel.

  • Unteres Quartil: p = 25%, Verwendung als untere Grenze der Probe;
  • Mittleres Quartil: p = 50%, entspricht dem Median;
  • Oberes Quartil: p = 75%, Verwendung als obere Grenze der Probe;

Der Abstand zwischen unterem und oberen Quantil wird als Interquartilsabstand bezeichnet und stellt ein wichtiges Streuungsmaß dar.

Perzentil

Als Perzentile werden die Quantile von 0 , 01 bis 0 , 99 in Schritten von 0,01 bezeichnet. [34] Sie haben besonders Bedeutung für die Bandbreite der Unternehmensbewertung.

Excel Mit der Funktion QUARTIL() lassen sich diese berechnen.[35]

Literatur

Weblinks

[36] [37] [38] [39] [40]

Darstellung (Box-Plot)

  • Weiterleitung: Box-Plot
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Box-Plot

Box-Plot, ex Wikimedia, RobSeb
fe Text

Der Box-Plot (Kastengrafik) ist ein Diagramm, das zur grafischen Darstellung der Verteilung eines mindestens ordinalskalierten Merkmals verwendet wird.[1][2] Es fasst dabei verschiedene robuste Streuungs- und Lagemaße in einer Darstellung zusammen. Ein Box-Plot soll schnell einen Eindruck davon vermitteln, in welchem Bereich die Daten liegen und wie sie sich über diesen Bereich verteilen. Deshalb werden alle Werte der sogenannten Fünf-Punkte-Zusammenfassung, also der Median, die zwei Quartile und die beiden Extremwerte, dargestellt.

Zusammenfassung der Kennwerte

Der Vorteil eines Box-Plots besteht darin, dass gewisse Kennwerte einer Verteilung direkt aus der graphischen Darstellung abgelesen werden können.

Kennwert Beschreibung Lage im Box-Plot
Minimum Kleinster Datenwert des Datensatzes Ende eines Whiskers oder entferntester Ausreißer
Unteres Quartil Die kleinsten 25 % der Datenwerte sind kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert Beginn der Box
Median Die kleinsten 50 % der Datenwerte sind kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert Strich innerhalb der Box
Oberes Quartil Die kleinsten 75 % der Datenwerte sind kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert Ende der Box
Maximum Größter Datenwert des Datensatzes Ende eines Whiskers oder entferntester Ausreißer
Spannweite Differenz zwischen Maximum und Minimum, also Größe des Wertebereiches Länge des gesamten Box-Plots (inklusive Ausreißer)
Interquartilsabstand Wertebereich, in dem sich die mittleren 50 % der Daten befinden. (Liegt zwischen dem 0,25- und dem 0,75-Quartil.) Ausdehnung der Box

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/box-plot-53780 graphische Darstellung in der beschreibenden Statistik (deskriptive Statistik) zur Veranschaulichung von Lage- und Streuungsmaßen zu einem metrischen Datensatz (insbesondere unteres und oberes Quartil, Median, arithmetisches Mittel, Quartilsabstand, Spannweite). Box-Plots sind besonders zum schnellen und direkten Vergleich mehrerer Datensätze geeignet.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_boxwhisk.html Box-Plots oder Schachteldiagramme (engl. box plots oder box and whisker plots), enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung. Ein Box-Plot besteht aus Rechtecken, die den Interquartilsabstand (engl. inter quartile range, IQR) zeigen. Innerhalb dieser Box wird der Median als trennende Linie dargestellt und der Mittelwert als Pluszeichen. Zur Rechten und zur Linken der Box sind Linien (whiskers) mit einer Länge des 1.5-fachen IQR eingezeichnet. Die Werte am Ende dieser Linien werden innerer Zaun (engl. inner fence) genannt. Ähnlich werden die äußeren Zäune (engl. outer fences) mit 3*IQR über oder unter den Seiten definiert (in der Darstellung unten nicht gezeigt). Beobachtungen, die zwischen die inneren und äußeren Zäune fallen, werden als kleine Kreise dargestellt, Beobachtungen außerhalb der äußeren Zäune werden mit Kreuzen markiert. Beobachtungen, die außerhalb der äußeren Zäune liegen, sind extrem selten (Wahrscheinlichkeit unter 0.0001).

eigene

excel

Berechnung[41]

NN[42]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Literatur

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[43] [44] [45] [46] [47]

mm

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

Berechnung[48]

NN[49]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Literatur

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[50] [51] [52] [53] [54]

Streuungsmaß

Hlf (Str)

  • Weiterleitung: Streuungsmaß
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Streuungsma%C3%9F_(Statistik) Streuungsmaße, auch Dispersionsmaße (lateinisch dispersio „Zerstreuung“, von dispergere „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder Streuungsparameter genannt, fassen in der deskriptiven Statistik verschiedene Maßzahlen zusammen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell durch ihre Beeinflussbarkeit beziehungsweise Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern. 


   2.1 Streuung um das arithmetische Mittel
       2.1.1 Summe der Abweichungsquadrate
       2.1.2 Empirische Varianz
       2.1.3 Empirische Standardabweichung
       2.1.4 Variationskoeffizient
       2.1.5 Mittlere absolute Abweichung
   2.2 Streuung um den Median
       2.2.1 Quantilsabstand
       2.2.2 Interquartilsabstand
       2.2.3 Mittlere absolute Abweichung vom Median
       2.2.4 Median der absoluten Abweichungen vom Median
   2.3 Weitere Streuungsmaße
       2.3.1 Spannweite
       2.3.2 Geometrische Standardabweichung


https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz Die Varianz ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie ist ein Maß für die Streuung reeller Werte um einen Mittel-, bzw. Erwartungswert. Die Streuung um einen Erwartungswert stellt dabei die allgemeinere Betrachtungsweise dar. Die Streuung erfasster Werte um ihr arithmetisches Mittel ist dem gegenüber ein Spezialfall und wird hier als empirische Varianz bezeichnet.

Die Varianz kann auch als mittleres Abweichungsquadrat der Werte interpretiert werden.

Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung. Die Standardabweichung gehört ebenfalls zu den Streuungsmaßen. Die Varianz ist in weitergehenden Berechnungen oft praktischer als die Standardabweichung: So können beispielsweise Varianzbeiträge von mehreren unabhängigen Zufallseinflüssen einfach addiert werden. Umgekehrt lässt sich durch eine Varianzanalyse eine Gesamtvarianz oft auch in ihre Beiträge (Ursachen) zerlegen. Dennoch ist die Standardabweichung oft anschaulicher als die Varianz, da sie dieselbe Größenordnung hat wie die beobachteten Werte.

Die Bezeichnung Varianz leitet sich von lateinisch variantia „Verschiedenheit“ bzw. variare „[ver]ändern, verschieden sein“ ab.

https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik) Die Varianz (lateinisch variantia „Verschiedenheit“ bzw. variare „(ver)ändern, verschieden sein“) ist ein Maß für die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsdichte um ihren Schwerpunkt. Mathematisch wird sie definiert als die mittlere quadratische Abweichung einer reellen Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Sie ist das zentrale Moment zweiter Ordnung einer Zufallsvariablen.

Die Varianz kann mit einem Varianzschätzer, z. B. der Stichprobenvarianz, bestimmt werden. Die Quadratwurzel der Varianz ist das als Standardabweichung bezeichnete wichtigste Streuungsmaß in der Stochastik.

Die Bezeichnung Varianz wurde vor allem von dem britischen Statistiker Ronald Fisher (1890–1962) geprägt. Weitere Wörter für die Varianz sind das veraltete Dispersion (lateinisch dispersio „Zerstreuung“ bzw. dispergere „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“), das Streuungsquadrat oder die Streuung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Empirische_Varianz Die empirische Varianz[1][2], auch Stichprobenvarianz[2][3] (veraltet: empirisches Streuungsquadrat) oder einfach nur kurz Varianz genannt, ist ein Maß für die Streuung von konkreten (empirisch erhobenen) Werten einer Stichprobe.

Bei der empirischen Varianz handelt sich um einen Begriff aus der beschreibenden (deskriptiven) Statistik für die Varianz. Sie gehört zu den Streuungsmaßen und beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der einzelnen Werte vom empirischen Mittelwert. Sie entspricht damit dem „durchschnittlichen Abweichungsquadrat“.

Die Wurzel der empirischen Varianz ist die empirische Standardabweichung.[2] Die empirische Standardabweichung stellt das gebräuchlichste Streuungsmaß dar. Sie ist anschaulicher als die Varianz, da sie dieselbe Größenordnung hat wie die beobachteten Werte.

Die empirische Varianz ist jedoch in weitergehenden Berechnungen oft praktischer als die Standardabweichung: So können beispielsweise Varianzbeiträge von mehreren unabhängigen Zufallseinflüssen einfach addiert werden. Umgekehrt lässt sich durch eine Varianzanalyse eine Gesamtvarianz oft auch in ihre Beiträge (Ursachen) zerlegen.

eigene

Berechnung[55]

NN[56]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Literatur

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[57] [58] [59] [60] [61]

mm

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

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Berechnung[62]

NN[63]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Literatur

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[64] [65] [66] [67] [68]

Erwartungswert

  • Weiterleitung: 
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  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

Kruschwitz ua 58 Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider. Das ist typischerweise jene Realisation, die mit der größten Wahrscheinlichkeit l).Uftritt. Daher pflegt man man bei der Unternehmensbewertung davon auszugehen, dass die zukünftige Rendite ihrem Erwartungswert entspricht.

Wie aber lässt sich dieser Erwartungswert bestimmen? __ Solange wir nur eine Stiehpf;;-b~ aus alle;-R.~ili~ationen der VerteÜwg'fs. kennen, bleibt uns der Erwartungswert grundsätzlich unbekannt. Wir können ihn bestenfalls schätzen. Hier hilft nun die Annahme weiter, dass die Renditen des zu bewertenden Unternehmens stationär sind. Unter dieser Bedingung können wir nämlich das arithmetische Mittel der beobachteten Renditen verwenden und mit einiger Gewissheit darauf vertrauen, dass dieses arithmetische Mittel einen brauchbaren Anhaltspunkt für den Erwartungswert der Renditen darstellt.79

Erwartungswert Der Erwartungswert ist die Summe aller möglichen Umweltzustände multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeit. Er bezeichnet jenen Wert der bei einer großen Anzahl von Versuchen ergibt.[1] Erwartungswert bei Wikipedia, abgefragt am 12.6.2017, 'nicht mehr aktuell

https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert ist eine Kennzahl einer Zufallsvariablen. Bei einer engeren Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle Zahl und damit endlich; bei einer weiteren Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die Werte ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } zugelassen. Es gibt Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert definiert ist.

Hat eine Zufallsvariable einen endlichen Erwartungswert, so wird dieser häufig mit μ {\displaystyle \mu } abgekürzt; er beschreibt dann die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergieren.

Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der „wahre“ Mittelwert einer Zufallsvariablen (Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } immer gleich. Siehe auch: Lageparameter (deskriptive Statistik)

Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein.

Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von deren Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.


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Berechnung[69]

NN[70]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Literatur

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[71] [72] [73] [74] [75]

NN

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

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Berechnung[76]

NN[77]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Literatur

Weblinks https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[78] [79] [80] [81] [82]

Literatur

Gesetz

Erlässe

Fachgutachten

Fachliteratur

" *)mwN ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben

* Aschauer / Purtscher (2023), S. ;

  • Bachl (2018), S. ;
  • Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
  • Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
  • Ihlau / Duscha (2019), S. ;
  • Mandl / Rabel (1997), S. ;
  • WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
  • WPH-Edition (2018), Rz. A ;
  • Kruschwitz ua (2009), S. 56 ff;

Zu Lit Kruschwitz ua (2009): Kruschwitz ua, "Unternehmensbewertung für die Praxis", Schäffer-Poeschel 2009;


Judikatur

Unterlage(n)

Sortiert nach Dateiname

* Hager: Auffrischung mathematischer Grundkenntnisse, Basisseminar BFA, Datei:Mathematik-Auffrischung.pdf, Stand August 2023;

Folien

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur ev, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Einzelnachweise

  1. ↑
  2. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  3. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  4. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  5. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  6. ↑
  7. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  8. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  9. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  10. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  11. ↑
  12. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  13. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  14. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  15. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  16. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  17. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  18. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Min, abgefragt 3.2.2024.
  19. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Mittelwert, abgefragt 3.2.2024.
  20. ↑
  21. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  22. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  23. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  24. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  25. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Ausreißer, abgefragt 3.2.2024.
  26. ↑ Wikipedia, Stichwort: Ausreißer, abgefragt 3.2.2024.
  27. ↑ Diesen kann man in Excel erstellen, vgl. XLSTAT, Stichwort: Grubbs Test zum Aufspüren von Ausreißern in Excel, abgefragt 3.2.2024.
  28. ↑
  29. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  30. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  31. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  32. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  33. ↑ Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil, abgefragt 3.2.2024.
  34. ↑ Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil, abgefragt 3.2.2024.
  35. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Quartille, abgefragt 3.2.2024.
  36. ↑
  37. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  38. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  39. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  40. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  41. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  42. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  43. ↑
  44. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  45. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  46. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  47. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  48. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  49. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  50. ↑
  51. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  52. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  53. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  54. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  55. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  56. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  57. ↑
  58. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  59. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  60. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  61. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  62. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  63. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  64. ↑
  65. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  66. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  67. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  68. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  69. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  70. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  71. ↑
  72. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  73. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  74. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  75. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  76. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  77. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  78. ↑
  79. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  80. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  81. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  82. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.

[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]

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