Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Statistik
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Inhaltsverzeichnis
Begriff (lö)
- Weiterleitung:
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- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
https://de.wikipedia.org/wiki/Statistik
Statistik „ist die Lehre von Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen“ (Daten).[1] Sie ist eine Möglichkeit, „eine systematische Verbindung zwischen Erfahrung (Empirie) und Theorie herzustellen“.[1] Unter Statistik versteht man die Zusammenfassung bestimmter Methoden zur Analyse empirischer Daten. Ein alter Ausdruck für „Statistik“ ist Sammelforschung.
Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, wie zum Beispiel der Medizin (Medizinische Statistik), der Psychologie (Psychometrie), der Politologie, der Soziologie, der Wirtschaftswissenschaft (Ökonometrie), der Biologie (Biostatistik), der Chemie (Chemometrie) und der Physik. Die Statistik stellt somit die theoretische Grundlage aller empirischen Forschung dar. Da die Menge an Daten in allen Disziplinen rasant zunimmt, gewinnt auch die Statistik und die aus ihr abgeleitete Analyse dieser Daten an Bedeutung. Andererseits ist die Statistik ein Teilgebiet der reinen Mathematik. Das Ziel der reinen mathematischen Statistik ist das Beweisen allgemeingültiger Aussagen mit den Methoden der reinen Mathematik. Sie bedient sich dabei der Erkenntnisse der mathematischen Grundlagendisziplinen Analysis und lineare Algebra.
https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96konometrie
https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik
- Statistik
→ Hauptartikel: Statistik
Statistik ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten. Dabei verbindet sie empirische Daten mit theoretischen Modellen. Man kann die Statistik unterteilen in die beschreibende Statistik (deskriptive Statistik) und die beurteilende Statistik (schließende Statistik).[21] In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll. In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik.[22]
Daten, Stichprobe, Grundgesamtheit, Häufigkeit (absolute, relative), Merkmal, Merkmalsausprägung Häufigkeitsverteilung, Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Stamm-Blatt-Diagramm explorative Datenanalyse, Minimum, Quartil, Quantil, Median, Maximum, Boxplot arithmetisches Mittel, geometrischer Mittelwert, harmonisches Mittel, gewichtetes Mittel Stichprobenvarianz, Stichprobenstandardabweichung, Abweichung, Spannweite Hypothesentest, Testen nach Bayes, Schätzen
https://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_(Statistik) In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.
- Lageparameter
- Streuungsparameter
* Konzentrationsparameter
- Gestaltmaße bzw. -parameter fe Kap
eigene Der Begriff bezeichnet:
Begriff bedeutet.
Bedeutung
- Weiterleitung:
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
eigene
Wichtige Kenngrößen
- Weiterleitung:
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
https://de.wikipedia.org/wiki/Deskriptive_Statistik
- Kenngrößen (statistische Kennwerte)
→ Hauptartikel: Parameter (Statistik)
Drei Arten von Kenngrößen sind hauptsächlich von Interesse:
- Lagemaße: als zentrale Tendenz einer Häufigkeitsverteilung. Aus der Lage der verschiedenen Werte für die zentrale Tendenz zueinander lassen sich Schiefe und Exzess einer Häufigkeitsverteilung bestimmen.
- Streuungsmaße: für die Variabilität (Streuung oder Dispersion) einer Häufigkeitsverteilung und
- Zusammenhangsmaße: für den Zusammenhang (auch: Korrelation) zweier Variablen.
Die Wahl der geeigneten Kenngrößen hängt vom Skalen- oder Messniveau der Daten und von der Robustheit der Kenngröße ab.
https://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_(Statistik)
- Lageparameter
- Streuungsparameter
- Konzentrationsparameter
- Gestaltmaße bzw. -parameter
eigene
Ermittlung / Berechnung
fe
Lageparameter
Hauptartikel-> Lageparameter
- Synonyme: Lagewert
siehe auch-> Streuungsparameter
ok
Lageparameter geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen.
- Mitte der Datenmenge
Hauptartikel-> Mittelwert, Median, Modalwert
Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:
- Mittelwerte insbesondere arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel.
- Median
- Modalwert
- Extremwerte
Hauptartikel-> Extremwert
siehe auch-> Spannweite
Extremwerte sind das Minimum und das Maximum.
- Ausreißer
Hauptartikel-> Ausreißer
Ausreißer sind Werte, die sich von den anderen Werten der Stichprobe abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der linearen Regression) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.[16]
- Quantil
Hauptartikel-> Quantil
Ein Quantil ist ein Lagemaß, das in der Wahrscheinlichkeitsverteilung links die Wahrscheinlichkeit und rechts die Wahrscheinlichkeit angibt. [17] Im Box-Plot ist das untere und obere Quartil als Endpunkte der Box ersichtlich.
Spezielle Quantile sind:
- Median p = 50%
- Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
- Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.
- Darstellung (Box-Plot)
Hauptartikel-> Box-Plot
- Synonyme: Kastengrafik, Schachteldiagramme
Box-Plots (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.
Streuungsparameter
Hauptartikel-> Streuungsparameter
- Synonyme: Streuungsmaß
siehe auch-> Lageparameter
Die Streuungsparameter (Streuungsmaße) sind Meßzahlen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben.
Wichtige Streuungsparameter:
- Varianz,
- Standardabweichung,
- Variationskoeffizient,
- Interquartilsabstand und
- Spannweite.
- Varianz
Hauptartikel-> Varianz
Die Varianz () ergibt sich aus der quadratischen Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.
- Standardabweichung
Hauptartikel-> Standardabweichung
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz.
- Variationskoeffizient
Hauptartikel-> Variationskoeffizient
Der Variationskoeffizient ist das Verhältnis zwischen Standardabweichung und (arithmetischem) Mittelwert.
- Interquartilsabstand
Hauptartikel-> Interquartilsabstand
siehe auch-> Box-Plot
Der Interquartilsabstand stellt den Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil dar. In seiner Mitte befindet sich der Median. Er enthält genau 50% der Datensätze.
- Spannweite
Hauptartikel-> Spannweite
siehe auch-> Extremwert
Die Spannweite zeigt die Abweichung zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert.
Erwartungswert
- Weiterleitung:
Hauptartikel-> Erwartungswert
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
Kruschwitz ua 58 Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider. Das ist typischerweise jene Realisation, die mit der größten Wahrscheinlichkeit l).Uftritt. Daher pflegt man man bei der Unternehmensbewertung davon auszugehen, dass die zukünftige Rendite ihrem Erwartungswert entspricht.
Wie aber lässt sich dieser Erwartungswert bestimmen? __ Solange wir nur eine Stiehpf;;-b~ aus alle;-R.~ili~ationen der VerteÜwg'fs. kennen, bleibt uns der Erwartungswert grundsätzlich unbekannt. Wir können ihn bestenfalls schätzen. Hier hilft nun die Annahme weiter, dass die Renditen des zu bewertenden Unternehmens stationär sind. Unter dieser Bedingung können wir nämlich das arithmetische Mittel der beobachteten Renditen verwenden und mit einiger Gewissheit darauf vertrauen, dass dieses arithmetische Mittel einen brauchbaren Anhaltspunkt für den Erwartungswert der Renditen darstellt.79
Erwartungswert Der Erwartungswert ist die Summe aller möglichen Umweltzustände multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeit. Er bezeichnet jenen Wert der bei einer großen Anzahl von Versuchen ergibt.[1] Erwartungswert bei Wikipedia, abgefragt am 12.6.2017, 'nicht mehr aktuell
https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert ist eine Kennzahl einer Zufallsvariablen. Bei einer engeren Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle Zahl und damit endlich; bei einer weiteren Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die Werte ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } zugelassen. Es gibt Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert definiert ist.
Hat eine Zufallsvariable einen endlichen Erwartungswert, so wird dieser häufig mit μ {\displaystyle \mu } abgekürzt; er beschreibt dann die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergieren.
Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der „wahre“ Mittelwert einer Zufallsvariablen (Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } immer gleich. Siehe auch: Lageparameter (deskriptive Statistik)
Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein.
Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von deren Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.
eigene
Berechnung[18]
NN[19]
lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik
| Variable | |
| = | Ergebnis |
| Variable |
Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[20]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks
- [
NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
Gestaltparameter
Hlf (lö)
- Weiterleitung: Gestaltparameter
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
erg
eigene Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt: ev Verteilung
- Schiefe link
- Wölbung
Berechnung[26]
Schiefe
- Weiterleitung: Schiefe (Statistik)
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik) Die Schiefe (englisch skewness bzw. skew) ist eine statistische Kennzahl, die die Art und Stärke der Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt. Sie zeigt an, ob und wie stark die Verteilung nach rechts (rechtssteil, linksschief, negative Schiefe) oder nach links (linkssteil, rechtsschief, positive Schiefe) geneigt ist.
- Schätzung der Schiefe einer Grundgesamtheit
Zur Schätzung der unbekannten Schiefe γ m {\displaystyle \gamma _{m}} einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} ( n {\displaystyle n} der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d. h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden: kurz: Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.[27]
- Lage von Mittelwert und Median
Auf Karl Pearson geht die Definition
mit dem Erwartungswert , dem Median und der Standardabweichung zurück. Der Wertebereich von S ist das Intervall . Für symmetrische Verteilungen ist . Rechtsschiefe Verteilungen besitzen häufig ein positives , es gibt jedoch Ausnahmen von dieser Faustregel.
Wenn die Standardabweichung divergiert, kann die Pearsonsche Definition verallgemeinert werden, indem eine Verteilung rechtsschief bezeichnet wird, wenn der Median kleiner als der Erwartungswert ist. In diesem Sinn ist die Pareto-Verteilung für beliebigen Parameter rechtsschief.
- Deutung ==
Ist , so ist die Verteilung rechtsschief, ist , ist die Verteilung linksschief. Für gutartige Verteilungen gilt: Bei rechtsschiefen Verteilungen sind Werte, die kleiner sind als der Mittelwert, häufiger zu beobachten, so dass sich der Gipfel (Modus) links vom Mittelwert befindet; der rechte Teil des Graphs ist flacher als der linke. Gilt , so ist die Verteilung auf beiden Seiten ausgeglichen. Bei symmetrischen Verteilungen ist immer . Umgekehrt müssen Verteilungen mit nicht symmetrisch sein.
Als Faustregeln kann man für gutartige Verteilungen also festhalten:
- rechtsschief:
- symmetrisch:
- linksschief:
Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen. (Für einen Test dieser Eigenschaft siehe z. B. den Kolmogorow-Smirnow-Test.)
https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/schiefe-45767 in der Statistik Bezeichnung für die Eigenschaft einer Verteilung (Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion), asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet linkssteile (rechtsschiefe) und rechtssteile (linksschiefe) Verteilungen (Diagramme). Bei linkssteilen Verteilungen ist der Median kleiner als der Erwartungswert, bei rechtssteilen Verteilungen ist es umgekehrt. Es gibt Maßzahlen zur Kennzeichnung der Schiefe, die aber kaum praktische Bedeutung haben (Moment).
http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_skewness.html Eine Verteilung wird rechtsschief (bzw. linkssteil) genannt, wenn der Hauptanteil der Verteilung auf der linken Seite konzentriert ist. Für linksschiefe (bzw. rechtssteile) Verteilungen gilt dasselbe für die rechte Seite der Verteilung. Der Grad der Schiefe (engl. skewness) wird durch das dritte Moment der Verteilung bestimmt:
Diese Formel für die Schiefe der Stichprobe ist ein nicht erwartungstreuer Schätzer der Schiefe der Grundgesamtheit. Um die Schiefe für die Population zu schätzen verwendet man daher folgende Formel:
Um zu testen, ob die berechnete Schiefe tatsächlich auf eine schiefe Verteilung schließen lässt, berechnet man folgende Testgröße:
Übersteigt diese das (1-α/2)-Quantil der Standardnormalverteilung, so kann man die Annahme der Symmetrie auf einem Signifikanzniveau von α verwerfen. Für diesen Test sollte n größer als 100 sein.
Hinweis: In manchen Statistikprogrammen wird die oben berechnete Testgröße Zn als "standardisierte Schiefe" bezeichnet. Als Faustregel gilt, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit eine schiefe Verteilung vorliegt, wenn die standardisierte Schiefe kleiner als -2 bzw. größer als +2 ist.
Bitte beachten Sie, dass die Schiefe manchmal durch unterschiedliche Formeln definiert wird, was zu veschiedenen Schiefemaßen führt.
Unten finden Sie zwei Beispiele von schiefen Verteilungen. Sie können das folgende interaktive Beispiel starten, um den Effekt von schiefen Verteilungen auf den Mittelwert und den Median zu beobachten.
eigene
Berechnung[28]
NN[29]
lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[30]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert
- [
NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
Wölbung
- Weiterleitung: Wölbung (Statistik)
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%B6lbung_(Statistik) Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung.[1] Die Wölbung ist das standardisierte (zentrale) Moment 4. Ordnung. Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an.[1]
ev Dateien: Steilgipflig und Flachgipflig hochladen
- Exzess
Um das Ausmaß der Wölbung besser einschätzen zu können, wird sie mit der Wölbung einer Normalverteilung verglichen, für die β 2 = 3 \beta_2=3 gilt. Der Exzess (auch: Überschusswölbung oder Überkurtosis) ist daher definiert als
γ = Exzess = β 2 − 3 {\displaystyle \gamma =\operatorname {Exzess} =\beta _{2}-3}
Mittels der Kumulanten ergibt sich
γ = κ 4 Var ( X ) 2 \gamma ={\frac {\kappa _{4}}{\operatorname {Var}(X)^{2}}}
Nicht selten wird die Wölbung fälschlicherweise als Exzess bezeichnet.
eigene
Berechnung[36]
NN[37]
lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik
| Variable | |
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[38]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert
- [
NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
mm
- Weiterleitung:
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
eigene
Berechnung[44]
NN[45]
lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik
| Variable | |
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[46]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert
- [
NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
(Wahrscheinlichkeits)Verteilung
Hlf Vert (lö)
- Weiterleitung:
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
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https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung
Verteilung steht für:
- Verteilung einer Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Wahrscheinlichkeitsverteilung, siehe Wahrscheinlichkeitsmaß
https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung_einer_Zufallsvariablen
Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Verteilung einer Zufallsvariablen ermöglicht es, aus einem „zu großen“ stochastischen Modell Informationen zu extrahieren und diesen wieder sinnvolle Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Ein Beispiel hierfür ist eine Lotto-Ziehung: Bei der Modellierung werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Zahlenkombination definiert. Man ist jedoch im Allgemeinen nicht an der Wahrscheinlichkeit interessiert, exakt eine bestimmte Zahlenfolge zu ziehen, sondern daran, wie groß die Wahrscheinlichkeit für „n Richtige“ ist. Man definiert dazu eine Zufallsvariable, welche die Informationen „Anzahl der Richtigen“ extrahiert. Die Verteilung dieser Zufallsvariablen gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass man „n Richtige“ gezogen hat.
https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß dient dazu, den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu quantifizieren und Ereignissen, die durch Mengen modelliert werden, eine Zahl im Intervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} zuzuordnen. Diese Zahl repräsentiert dann die Wahrscheinlichkeit, mit der das durch die Menge beschriebene eintritt. Man verwendet typischerweise die Notation P ( B ) = c {\displaystyle \mathbb {P} (B)=c}, um dem Ereignis B {\displaystyle B} die Wahrscheinlichkeit c ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle c\in [0,1]} zuzuordnen.
Eine einfaches Beispiel ist das Werfen eines fairen Würfels X {\displaystyle X}: Dem Ereignis X = 2 {\displaystyle X=2}, dass die Augenzahl 2 geworfen wird, wird die Wahrscheinlichkeit P ( X = 2 ) = 1 6 {\displaystyle \mathbb {P} (X=2)={\tfrac {1}{6}}} zugeordnet.
Das Bildmaß eines Wahrscheinlichkeitsmaßes unter einer Zufallsvariable nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufallsverteilung, Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsgesetz.
Im Rahmen der Maßtheorie entsprechen die Wahrscheinlichkeitsmaße speziellen endlichen Maßen, die sich durch ihre Normiertheit auszeichnen.
Arten:
- Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Mischformen
https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/verteilung-47286 Statistik
Bezeichnung für eine empirische Häufigkeitsverteilung oder für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, die etwa durch eine Verteilungsfunktion, eine Dichtefunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben wird.
http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_intro.html Entnimmt man nacheinander Stichproben aus demselben zufälligen Prozess, erhält man leicht voneinander abweichende Ergebnisse. Der Mittelwert dieser Ergebnisse und deren Verteilung sind normalerweise ein guter Indikator für den beprobten Prozess. Ein kurzes Beispiel soll dies verständlich machen:
Nehmen Sie an, ein Physiker bäckt einen Rosinenkuchen und gibt 75 Rosinen in den Teig. Nach Rühren des Teigs und Backen des Kuchens schneidet er genau ein Drittel des Kuchens ab. Weil dieser Physiker Langeweile hat, zerbröselt er das Stück und zählt die Rosinen darin - nur 19 der zu erwartenden 25 Rosinen werden gefunden. Nun stellt sich die Frage, die den Physiker letztlich davon abhält, den Kuchen zu essen: Wie stehen die Chancen, ein Stück dieser Größe mit weniger als 20 Rosinen zu bekommen?
Bevor Sie in ein statistisches Lehrbuch schauen, möchten Sie vielleicht selbst ein Experiment durchführen. Klicken Sie auf das interaktive Beispiel, um das Experiment zu starten!
Sie sehen, dass die eigentliche Anzahl an Rosinen in einem Drittel des Kuchens um 25 schwankt. Das Histogramm der Häufigkeit des Vorkommens der verschiedenen Anzahlen von Rosinen könnte wie folgt aussehen:
Wenn Sie den Prozess des Kuchenbackens oft genug wiederholen und Sie die Balken des Histogramms schmal genug auftragen, werden Sie schließlich eine glatte Verteilung erhalten:
Als Nächstes möchte unser Physiker wissen, wie die Chancen stehen, mehr als 30 Rosinen in dem Kuchenstück zu finden. Eine Eigenschaft von Verteilungsdiagrammen ist, dass die relative Fläche zwischen zwei Werten auf der x-Achse die Chance, dass das korrespondierende Ereignis eintritt, wiedergibt. In unserem Beispiel kann der Physiker eine vertikale Linie bei 30 Rosinen ziehen. Die relative Fläche oberhalb dieser Markierung gibt die Chance, mehr als 30 Rosinen im Kuchenstück zu finden, an (was anhand der Verteilungskurve ungefähr 10 % ist).
Manchmal ist es schwer, die relative Fläche zu bestimmen. Dann sollte man die Verteilungskurve so skalieren, dass sie eine Fläche von exakt 1.0 hat. Die Fläche unterhalb der Kurve stellt die Chance, dass ein Ereignis in diesen Bereich fallen kann, dar. Diese Kurve wird Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (engl. probability density function, pdf) genannt:
Hinweis: Verwechseln Sie bitte das Skalieren der Fläche nicht mit dem Skalieren der y-Achse. Eine Verteilungskurve, die auf eine Fläche von 1.0 skaliert ist, hat nicht ein Maximum von 1.0; sehen Sie sich dazu auch das folgende interaktive Beispiel zur Erklärung an.
eigene
Berechnung[52]
NN[53]
lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik
| Variable | |
| = | Ergebnis |
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[54]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks
- [
NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
Diskrete Verteilungen
- Weiterleitung: Diskrete Verteilung
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß
- Diskrete Verteilungen
→ Hauptartikel: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer diskreten Verteilung
Als diskrete Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf endlichen oder abzählbar unendlichen Grundräumen bezeichnet. Diese Grundräume werden fast immer mit der Potenzmenge als Mengensystem versehen, die Wahrscheinlichkeiten werden dann meist über Wahrscheinlichkeitsfunktionen definiert. Diskrete Verteilungen auf den natürlichen oder ganzen Zahlen können in den Messraum ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} eingebettet werden und besitzen dann auch eine Verteilungsfunktion. Diese zeichnet sich durch ihre Sprungstellen aus.
https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine diskrete (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung bzw. ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein spezielles Wahrscheinlichkeitsmaß in der Stochastik. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen leicht zu handhaben, da sie nur auf mathematisch „kleinen“ Mengen definiert sind. Dies verhindert einerseits das Auftreten von Paradoxien, wie sie der Satz von Vitali zeigt, und die damit verbundene Verwendung von komplexeren Mengensystemen wie der Borelschen σ-Algebra, andererseits kann dadurch auch auf die Verwendung von Integralen zugunsten der Verwendung von (endlichen oder unendlichen) Summen verzichtet werden.
Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem Ereignis „Die Münze zeigt Kopf“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis „Die Münze zeigt Zahl“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf.
Dieser Artikel behandelt Eigenschaften von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche für ebendiese charakteristisch sind. Für die allgemeinen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die auch für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelten, siehe den Hauptartikel zu den Wahrscheinlichkeitsmaßen.
- Definition
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn einer der folgenden drei Fälle gilt:
Sie ist auf einer endlichen Menge definiert (meist { 0 , 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n\}}).
Sie ist auf einer abzählbar unendlichen Menge definiert (meist die natürlichen Zahlen N {\displaystyle \mathbb {N} }).
Sie ist auf einer beliebigen Menge definiert, nimmt aber nur auf höchstens abzählbar vielen Elementen dieser Menge einen positiven Wert an. Das bedeutet, es existiert eine höchstens abzählbare Menge M {\displaystyle M} mit P ( M ) = 1 {\displaystyle P(M)=1} (meist die natürlichen Zahlen, eingebettet in die reellen Zahlen).
Zufallsvariablen, deren Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als diskrete Zufallsvariablen bezeichnet.[1]
https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/diskretes-merkmal-30369 in der Statistik Bezeichnung für ein quantitatives (metrisches) Merkmal mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen möglichen Ausprägungen. Bei überabzählbar vielen möglichen Ausprägungen spricht man von einem stetigen Merkmal.
http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_uniform_discrete.html Diskrete Verteilungen
- Bernoulliverteilung
- Diskrete Uniforme Verteilung
- Binomialverteilung
- Hypergeometrische Verteilung
- Poissonverteilung
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Berechnung[60]
NN[61]
lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[62]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks
- [
NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
Stetige Verteilungen
- Weiterleitung: Stetige Verteilung
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
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https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß
- Stetige Verteilungen
→ Hauptartikel: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung
Verteilungen auf den reellen Zahlen, versehen mit der borelschen σ-Algebra werden als stetige Verteilung bezeichnet, wenn sie stetige Verteilungsfunktionen besitzen. Die stetigen Verteilungen lassen sich noch in absolutstetige und stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterteilen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen, auch diffuse oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,[1] sind in der Stochastik eine große Klasse von häufig auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den absolutstetigen Verteilungen, aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden.
- Definition
Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P P auf den reellen Zahlen R \mathbb {R} , versehen mit der Borelschen σ-Algebra B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}.
Dann heißt P P eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die Verteilungsfunktion F P {\displaystyle F_{P}} von P P stetig ist.
Äquivalent dazu ist, dass P P atomlos ist. Das bedeutet, es existiert kein x ∈ R x\in \mathbb {R} , so dass P ( { x } ) > 0 {\displaystyle P(\{x\})>0} ist.
https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stetiges-merkmal-45782 in der Statistik Bezeichnung für ein Merkmal, bei dem mehr als abzählbar unendlich viele mögliche Ausprägungen vorkommen können oder zumindest denkbar sind.
Beispiele: Länge, Gewicht, Zeitdauer.
Wegen der in der Praxis immer beschränkten Messgenauigkeit bleibt ein stetiges Merkmal theoretische Modellvorstellung.
Gegensatz: diskretes Merkmal.
http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/wrapnt536530_kontinuierliche_verteilungen.html
Kontinuierliche Verteilungen
- Kontinuierliche Uniforme Verteilung
- Normalverteilung
- Lognormal-Verteilung
- Cauchy-Verteilung
- Exponentialverteilung
- Weibullverteilung
- Pareto-Verteilung
eigene
Berechnung[68]
NN[69]
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[70]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks
- [
NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
- [
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
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mm
- Weiterleitung:
Hauptartikel-> [[]]
- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
fe
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Berechnung[76]
NN[77]
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[78]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks
- [
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NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
- [
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NN
- Weiterleitung:
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- Synonyme: [[]]
siehe auch-> [[]]
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Berechnung[84]
NN[85]
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[86]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
Weblinks https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert
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Berechnung[92]
NN[93]
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[94]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
17;
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Berechnung[100]
NN[101]
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Excel
- NN lässt sich in Excel mit der Funktion
VAR.P()ermitteln.[102]
Literatur
- Falkenberg (1975), S.
17; - Hackl ua (1982), S.
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Literatur
Gesetz
Erlässe
Fachgutachten
Fachliteratur
" *)mwN ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben
* Aschauer / Purtscher (2023), S. ;
- Bachl (2018), S. ;
- Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
- Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
- Ihlau / Duscha (2019), S. ;
- Mandl / Rabel (1997), S. ;
- WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
- WPH-Edition (2018), Rz. A ;
- Kruschwitz ua (2009), S. 56 ff;
Zu Lit Kruschwitz ua (2009): Kruschwitz ua, "Unternehmensbewertung für die Praxis", Schäffer-Poeschel 2009;
Judikatur
Unterlage(n)
Sortiert nach Dateiname
* Hager: Auffrischung mathematischer Grundkenntnisse, Basisseminar BFA, Datei:Mathematik-Auffrischung.pdf, Stand August 2023;
Folien
siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur ev, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln
Weblinks
- [
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- [
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
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NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
Einzelnachweise
- ↑
- ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
- ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
- ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
- ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
- ↑
- ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
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- ↑ Formel vgl. Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 3.2.2024.
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[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]
