Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Statistik

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Begriff (lö)

 ok 

Statistik' ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten.

Die Statistik beschäftigt sich mit unter gleichen Rahmenbedingungen wiederholt beobachtbare Vorgänge (Massenphänomenen). Ihre Aussagen sind auf die Grundgesamtheit gerichtet. Meist werden nicht alle Objekte und ihre Ausprägungen erhoben (Vollerhebung), sondern nur eine Stichprobe.

Wissenschaftliche Einordnung

Hlf Wi (lö)

 ok 

Die Statistik bildet gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie die Stochastik. Sie stellt aber auch einen eigenständiger Teilbereich der Mathematik (Mathematische Statistik) dar. Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, zB Ökonometrie.

Die Statistik wird manchmal unterteilt:

• beschreibende Statistik (deskriptive Statistik): In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll.

• beurteilende Statistik (schließende Statistik): In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik.

Stochastik

• Weiterleitung: Stochastik

 (zT) ok 

Stochastik ist der Oberbegriff für Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. WahrscheinlichkeitsrechnungLemma? und für Statistik . Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Weblinks

• Stochastik bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Stochastik bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Ökonometrie

• Weiterleitung: Ökonometrie

 ok 

Die Ökonometrie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die ökonomische Theorie sowie mathematische Methoden und statistische Daten zusammenführt, um wirtschaftstheoretische Modelle empirisch zu überprüfen und ökonomische Phänomene quantitativ zu analysieren.

Weblinks

• Ökonometrie bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Ökonometrie bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Wahrscheinlichkeitstheorie

• Weiterleitung: Wahrscheinlichkeitstheorie

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

 ev erg 

https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/wahrscheinlichkeitsrechnung-48370 Wahrscheinlichkeitsrechnung

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_prob_intro_toc.html Wahrscheinlichkeitstheorie

eigene

Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Analyse von zufälligen Phänomenen ev Hinweis Wahrscheinlichkeit beschäftigt.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie nützt das Wissen über alle möglichen Ergebnisse eines Experiments, auch Grundgesamtheit genannt, um auf die Wahrscheinlichkeit besonderer Ergebnisse zu schließen. Die Statistik versucht den umgekehrten Weg zu gehen, indem sie eine endliche Zahl an Beobachtungen verwendet, um einen Schluss über die ganze Grundgesamtheit zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft diese Schlüsse zu überprüfen und stellt Richtlinien für den Experimentaufbau zu einer bestimmten Frage auf.

Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind:

• zufällige Ereignisse,
• Zufallsvariablen und
• stochastische Prozesse.

Berechnung

Literatur

Weblinks

• Wahrscheinlichkeitstheorie bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Wahrscheinlichkeitstheorie bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Kombinatorik

• Weiterleitung: Kombinatorik

ev erg 

https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik

https://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/kombinatorik-41590 Kombinatorik

eigene Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Kombinatorik werden Anzahlberechnungen von möglichen Kombinationen durchgeführt. Ein Hilfsmittel ist das Urnenmodell.

Berechnung

Weblinks

• Kombinatorik bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Kombinatorik bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

nn

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Bedeutung

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

• Viele Variablen der Unternehmensbewertung beruhren auf statistishen Daten: Marktrisikoprämie, Beta-Faktoren
• Weiters Marktdaten und Volkswirtschaftliche Kennzahlen.

Wichtige Kenngrößen

 ok 

In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.

Arten:

• Lageparameter
• Streuungsparameter
• Gestaltparameter

Lageparameter

Hauptartikel-> Lageparameter

• Synonyme: Lagewert

 ok 

Lageparameter geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen.

Mitte der Datenmenge

Hauptartikel-> Mittelwert, Median, Modalwert

Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:

• Mittelwerte insbesondere arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel.
• Median
• Modalwert

Extremwerte

Hauptartikel-> Extremwert

siehe auch-> Spannweite

Extremwerte sind das Minimum und das Maximum.

Ausreißer

Hauptartikel-> Ausreißer

Ausreißer sind Werte, die sich von den anderen Werten der Stichprobe abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der linearen Regression) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.

Quantil

Hauptartikel-> Quantil

Ein Quantil ist ein Lagemaß, das in der Wahrscheinlichkeitsverteilung links die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] und rechts die Wahrscheinlichkeit [math]{1-p}[/math] angibt. Im Box-Plot ist das untere und obere Quartil als Endpunkte der Box ersichtlich.

Spezielle Quantile sind:

• Median p = 50%
• Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
• Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.

Darstellung (Box-Plot)

Box-Plot; ex Wikimedia, erst. RobSeb

Hauptartikel-> Box-Plot

• Synonyme: Kastengrafik, Schachteldiagramme

Box-Plots (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.

Streuungsparameter

Hauptartikel-> Streuungsparameter

• Synonyme: Streuungsmaß

ok

Die Streuungsparameter (Streuungsmaße) sind Meßzahlen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben.

Wichtige Streuungsparameter:

• Varianz,
• Standardabweichung,
• Variationskoeffizient,
• Interquartilsabstand und
• Spannweite.

Varianz

Hauptartikel-> Varianz

Die Varianz ([math]\sigma^2[/math]) ergibt sich aus der quadratischen Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.

Standardabweichung

Hauptartikel-> Standardabweichung

Die Standardabweichung [math]\sigma [/math] ist die Wurzel der Varianz.

Variationskoeffizient

Hauptartikel-> Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient [math]{VCo} [/math] ist das Verhältnis zwischen Standardabweichung und (arithmetischem) Mittelwert.

Interquartilsabstand

Hauptartikel-> Interquartilsabstand

siehe auch-> Box-Plot

Der Interquartilsabstand [math]{IQA} [/math] stellt den Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil dar. In seiner Mitte befindet sich der Median. Er enthält genau 50% der Datensätze.

Spannweite

Hauptartikel-> Spannweite

siehe auch-> Extremwert

Die Spannweite [math] R [/math] zeigt die Abweichung zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert.

Erwartungswert

Hauptartikel-> Erwartungswert

 ok 

Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider. Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt.

Gestaltparameter

Hlf (lö)

• Weiterleitung: Gestaltparameter

  ok 

Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt:

• Schiefe und
• Wölbung.

Schiefe

• Weiterleitung: Schiefe (Statistik)

 (zT) ok 

Linksschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Rechtsschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Schiefe ist in der Statistik die Bezeichnung für die Eigenschaft einer Verteilung Klammer lö oder verlinken (Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion), asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet rechtsschiefe (linkssteile, positive Schiefe) und linksschiefe (rechtssteile, negative Schiefe) Verteilungen (Diagramme). rechts (rechtssteil, linksschief) oder nach links (linkssteil, rechtsschief)

Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 3.2.2024.</ref>

• rechtsschief: [math]x_\text{mod} \lt x_\text{med} \lt \overline{x} [/math]
• symmetrisch: [math]x_\text{mod} = x_\text{med} = \overline{x}[/math]
• linksschief: [math]x_\text{mod} \gt x_\text{med} \gt \overline{x}[/math]

Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen.

Literatur erg oder lö

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• Schiefe (Statistik) bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Schiefe bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Schiefe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Wölbung

• Weiterleitung: Wölbung (Statistik)

 (zT) ok 

Steilgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Flachgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Wölbung (Kurtosis) ist eine Maßzahl für die Steilheit / flachheit einer unimodalen (eingipfligen) Verteilung. Die Differenz der Wölbung der betrachteten Verteilung zur Normalverteilung wird als Exzess bezeichnet.

Literatur erg oder lö

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• Wölbung (Statistik) bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Kurtosis bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

mm

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Grundgesamtheit / Stichprobe

Hlf Grges

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Grundgesamtheit

• Weiterleitung: Grundgesamtheit

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Grundgesamtheit Die Grundgesamtheit (auch Population, statistische Masse, Kollektiv oder Gesamterhebungsumfang[1][2]) ist ein Begriff der Statistik. Die Grundgesamtheit bezeichnet diejenige Menge aller Objekte, über die eine Aussage getroffen werden soll.[3] Grundgesamtheiten werden häufig nur unvollständig erfasst und lediglich näherungsweise beschrieben, etwa durch eine Teilerhebung in der deskriptiven Statistik oder eine stichprobenhafte Erhebung mittels der Stochastik.

Definition

In der Statistik bezeichnet die Grundgesamtheit die Menge aller statistischen Einheiten (auch Merkmalsträger, Untersuchungseinheiten, Erhebungseinheiten)[4][5] mit übereinstimmenden Identifikationskriterien (sachlich, räumlich und zeitlich).[1] Die statistische Einheit ist Träger der Informationen für die statistische Untersuchung. Statistische Einheiten können natürliche Einheiten (Personen, Tiere, Pflanzen, Werkstücke), aber auch künstliche Einheiten, zum Beispiel sozio-ökonomische Einheiten (Familien, Haushalte, Unternehmen) oder Ereignisse, sein.[4][6]

„Eine Grundgesamtheit kann endlich oder unendlich viele Elemente enthalten. Theoretische Grundgesamtheiten sind oft (überabzählbar) unendlich, wie z. B. bei stetigen Zufallsvariablen. Reale Grundgesamtheiten sind meistens sehr groß, aber immer endlich.“[7] Dementsprechend unterscheidet man auch endliche Grundgesamtheiten und unendliche Grundgesamtheiten. Man spricht auch von einer geschlossenen Grundgesamtheit und einer offenen Grundgesamtheit.[8] „Die endliche Grundgesamtheit wird als eine geschlossene, die unendliche als eine offene bezeichnet.“[9]

erhebung

Die vollständige Erfassung von Grundgesamtheiten ist mittels der deskriptiven Statistik möglich. Sie wird auch als Vollerhebung oder Totalerhebung[10] bezeichnet, wobei der Begriff Erhebung in diesem Fall irreführend ist, da er aus der Empirie stammt.

Grundgesamtheiten sind oftmals sehr groß und nur mit großem Aufwand oder gar nicht erfassbar. Wird die vollständige Erfassung mittels der deskriptiven Statistik nicht erreicht, spricht man von einer Teilerhebung.[11]

Erhebung mittels Stochastik

Um Grundgesamtheiten, die nicht vollständig erfasst wurden, zumindest näherungsweise zu beschreiben, werden Methoden der Stochastik, insbesondere der mathematischen Statistik, angewendet. Dabei wird auf Basis der Datenerhebung aus einer Stichprobe, die für die Grundgesamtheit als repräsentativ angenommen wird, auf die tatsächliche, gesuchte Grundgesamtheit geschlossen. Diese wird in der empirischen Forschung unter anderem als Population oder Zielpopulation (englisch target population) bezeichnet.

Zum Beispiel wird in der Wahlforschung nicht die gesamte wahlberechtigte Bevölkerung nach ihrer Parteienpräferenz befragt, sondern eine Stichprobe erhoben, die in ihren Eigenschaften (Alter, Geschlecht, Wohnsitz usw.) die Verhältnisse widerspiegelt, die in der Grundgesamtheit vorliegen. Die durch Befragung mittels Stichprobe erfassten Daten werden mit Hilfe statistischer Verfahren auf die Grundgesamtheit hochgerechnet und ergeben so eine Wahlprognose.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/grundgesamtheit-35039

Statistik

Ausgangsgesamtheit, Kollektiv, Population, statistische Masse; Menge aller Elemente, auf die ein Untersuchungsziel in der Statistik gerichtet ist. Die Grundgesamtheit bedarf einer exakten sachlichen, räumlichen und zeitlichen Abgrenzung (falsche Abgrenzung: Coverage-Fehler). Bei Stichprobenverfahren ist Grundgesamtheit der Gegenbegriff zu Stichprobe (Teilerhebung); die Resultate der Stichprobe werden (Schätzung) auf die Grundgesamtheit übertragen.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundgesamtheit und Stichprobe In der angewandten Statistik müssen wir streng zwischen Grundgesamtheit und Stichprobe unterscheiden. Stellen Sie sich eine Schachtel mit 500 Kugeln in drei verschiedenen Farben vor. Diese Menge an Kugeln wird als Grundgesamtheit (engl. population) bezeichnet. Maße der beschreibenden Statistik, z.B. der Mittelwert oder die Standardabweichung oder in unserem Beispiel die Zahl der roten, grünen und blauen Kugeln, werden Parameter genannt, wenn sie aus der Grundgesamtheit berechnet werden. Wenn aus der Schachtel 50 Kugeln ausgewählt werden, also eine Teilmenge der Grundgesamtheit erstellt wird, wird diese Menge von 50 Kugeln Stichprobe genannt. Ein beschreibendes Maß, das sich auf eine Stichprobe bezieht, - hier die Zahl der roten Kugeln aus der Stichprobe von 50 Kugeln - wird als Schätzwert (engl. estimate, oder statistic) bezeichnet.(1) Parameter werden durch griechische Buchstaben dargestellt, Schätzer durch lateinische.

Eine Grundgesamtheit ist die Menge aller möglichen Objekte über die man im Zuge einer statistischen Erhebung eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann begrenzt oder unbegrenzt sein. 

Die Grundgesamtheit, die die Grundlage einer statistischen Untersuchung bildet, muss immer exakt definiert sein (was manchmal gar nicht einfach ist). Nur so ist es möglich, vergleichbare Ergebnisse zu bekommen. Am besten man definiert neben den sachlichen Bedingungen ("was soll untersucht werden") auch noch die örtlichen und zeitlichen Rahmenbedingungen.

In unserem Beispiel mit den 500 Kugeln in der Schachtel ist die Größe der Grundgesamtheit begrenzt. In vielen Fällen - besonders bei realen Messungen - ist die Größe der Grundgesamtheit unbegrenzt, so z.B. die Konzentration von Kohlendioxid in der Luft (gemessen mit einem analytischen Messgerät). Die Grundgesamtheit ist die (unendliche) Menge aller (möglichen) Messungen (= Ergebnisse, die durch das analytische Instrument erhalten werden können).

Ein anderes Beispiel für eine Grundgesamtheit wäre die Menge aller österreichischen Schüler der 3. Klasse Volksschule. Diese Grundgesamtheit ist begrenzt, aber sehr groß.

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Stichprobe

• Weiterleitung: Stichprobe

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Als Stichprobe bezeichnet man entweder[1]

• eine Teilmenge einer Grundgesamtheit (Population), die unter bestimmten Gesichtspunkten ausgewählt wurde
• oder eine Multimenge von Realisierungen einer Zufallsvariablen, welche einer Verteilung folgt.

Typischerweise wird die Stichprobe Untersuchungen bzw. Erhebungen unterzogen, deren Ergebnisse etwas über die Grundgesamtheit oder Verteilung, der die Stichprobe entnommen wurde, aussagen sollen.

Eine Stichprobenerhebung (Teilerhebung) als Alternative zur Vollerhebung wird angewandt, wenn die Untersuchung aller Individuen oder Objekte einer Grundgesamtheit nicht praktikabel ist. Das ist bei sehr umfangreichen Grundgesamtheiten der Fall oder dann, wenn die Stichprobenelemente durch die Untersuchung unbrauchbar gemacht werden, wie es vielfach bei der Qualitätsprüfung der Fall ist. Jede Stichprobe ist durch zwei Merkmale gekennzeichnet: ihre Größe (Stichprobenumfang, Stichprobengröße) und das verwendete Auswahlverfahren (Stichprobenart). Soll die Stichprobe repräsentativ für ihre Grundgesamtheit sein, muss das angewandte Auswahlverfahren bestimmte Bedingungen erfüllen und eine Mindeststichprobengröße vorhanden sein. Besondere Bedeutung hat hier die Zufallsstichprobe.[2]

Auswahlverfahren

Ein Pkw wird in einer Stichprobe einer Rauschgiftfahndung unterzogen. Von einer Zufallsstichprobe spricht man, wenn z. B. jeder zehnte Wagen überprüft wird und man annimmt, die Wagen kämen in zufälliger Reihenfolge. Eine systematische Auswahl wäre die Überprüfung aller roten Fahrzeuge. Eine willkürliche Auswahl wäre es, wenn der Beamte ohne Kriterien Fahrzeuge auswählt.

Ein Auswahlverfahren bei der Stichprobenauswahl ist die Art und Weise, wie die Elemente der Stichprobe möglichst zweckmäßig ausgewählt werden. Es gibt verschiedene Auswahlverfahren, die nachfolgend beschrieben werden. Stichproben, die nicht durch Zufallsauswahl entstanden sind, werden allgemein als nichtprobabilistische Stichprobe bezeichnet.

Zufallsauswahl

Eine Zufallsstichprobe ist notwendig, wenn die Stichprobe repräsentativ sein soll, d. h. wenn von ihr nach dem Induktionsprinzip auf die Grundgesamtheit geschlossen werden soll (siehe auch Hochrechnung). Mit Zufallsstichproben wird in Anwendungen der Statistik häufig gearbeitet (etwa in der naturwissenschaftlichen, medizinischen und psychologischen Forschung, bei Qualitätskontrollen oder in der Marktforschung), da es oft nicht möglich ist, die Grundgesamtheit (etwa die Gesamtbevölkerung oder alle Exemplare eines bestimmten Produkts) zu untersuchen.

Nur bei Zufallsauswahlen sind streng genommen die Methoden der induktiven Statistik anwendbar. Die Art der Probenahme hat Einfluss auf die Aussagekraft.

Bei einer Zufallsauswahl (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl oder Random Sample genannt) hat jedes Element der Grundgesamtheit eine angebbare (meist die gleiche) Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen (Einschlusswahrscheinlichkeit). Die Kombinatorik kann Anhaltspunkte für sinnvolle Auswahlmethoden geben.

In der Empirie werden mehrere Zufallsstichprobenverfahren unterschieden, zum Beispiel

   einstufige und mehrstufige Verfahren (Stufung)
   geschichtete Zufallsstichprobe (Schichtung)
   Klumpenstichprobe (Klumpung)

In der Meinungsforschung werden die Auskunftgebenden zum Beispiel mit dem Random-Route-Verfahren und dem Schwedenschlüssel ausgewählt. Eine weitere Möglichkeit ist das RLD-Verfahren.

Bewusste Auswahl

Bei einer systematischen Stichprobenziehung werden bereits bekannte Informationen über die auszuwählenden Fälle genutzt. Die Auswahl erfolgt anhand von Listen und festgelegten Regeln. Mathematisch-statistische Modelle, etwa die Berechnung der Einschlusswahrscheinlichkeit, sind bei bewussten Auswahlen nicht anwendbar. Systematische Auswahlverfahren kommen zum Beispiel im kommerziellen Bereich (Markt- und Meinungsforschung) vor, wenn echte Zufallsstichproben zur Sicherung von Repräsentativität (im Sinne von Bevölkerungsrepräsentativität) zu aufwändig sind. Meist wird dann versucht, die Zusammensetzung der Bevölkerung näherungsweise durch Quotierung zentraler soziodemografischer Merkmale abzubilden (siehe Quotenstichprobe). Sowohl in der akademischen als auch in der kommerziellen Forschung sind Stichproben mit bewusstem Auswahlverfahren aus forschungsökonomischen Gründen häufiger anzutreffen als echte Zufallsstichproben.

In der qualitativen Sozialforschung werden grundsätzlich keine Zufallsstichproben eingesetzt. Alle Stichproben erfolgen nach bewusster (willkürlicher) Auswahl. Das wichtigste Auswahlverfahren für Stichproben in der qualitativen Sozialforschung ist die so genannte Theoretische Stichprobenziehung (Theoretical Sampling), bei der Elemente bewusst gemäß theoretischen Vorüberlegungen in die Stichprobe aufgenommen werden.

Willkürliche Auswahl

Bei willkürlichen Stichproben werden Elemente aus der Grundgesamtheit (etwa von einem Interviewer) mehr oder weniger willkürlich in die Stichprobe aufgenommen, oft gemäß Praktikabilität. Die Auswahl liegt im Ermessen der Forschenden (der Fragesteller sucht beispielsweise einzelne Passanten aus) oder der Probanden (die Befragten nehmen aus eigenem Antrieb an einer Befragung teil, siehe Selbstselektion). Stichproben mit willkürlichem Auswahlprinzip werden oft gewählt, da sie mit dem geringsten Aufwand und den geringsten Kosten verbunden sind.

Willkürliche Stichproben können im Hinblick auf ihre Vergleichbarkeit mit der Population große Verzerrungen aufweisen. Trotz mangelnder Repräsentativität erbringen auch willkürlichen Stichproben einen Erkenntnisgewinn, solange die Ergebnisse nicht unzulässig generalisiert werden.

Beispiel: Als Stichprobe der Studierenden einer Hochschule werden die Teilnehmer einer bestimmten Vorlesung herangezogen. Die Studierenden der konkreten Vorlesung sind jedoch nicht repräsentativ für die Studierendenschaft des Studiengangs oder der entsprechenden Hochschule.

Beispiel 2: Fragesteller suchen sich in einer Fußgängerzone beliebige Passanten heraus, die sie befragen. Bei der Auswahl spielen also persönliche Präferenzen der Fragesteller eine Rolle. Zur Verbesserung der Repräsentativität müssten die Fragesteller die Passanten an einer übersichtlichen Stelle abzählen und jede so-und-so-vielte Person befragen.

Beispiel 3: Das Unternehmen Civey führt Online-Befragungen durch, indem die Besucher einer größeren Anzahl von Internetseiten durch ein eingeblendetes Werbe-Banner aufgefordert werden, an der Umfrage teilzunehmen. Die Teilnehmer suchen sich sozusagen selber aus. Überrepräsentiert sind dann Personen, die am Thema der Umfrage interessiert sind.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stichprobe-44243 Teilmenge einer Grundgesamtheit, die für eine Untersuchung ausgewählt wird.

I.w.S.: Durchführung und Ergebnis einer Teilerhebung.

I.e.S.: Synonym für Zufallsstichprobe.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/teilerhebung-47171 Begriff der Statistik für eine Erhebung, bei der nur ein Teil der Grundgesamtheit untersucht wird (Teilgesamtheit); damit ergibt sich eine Stichprobe i.w.S. Teilerhebungen sind kostengünstiger als Vollerhebungen; bei unendlichen Grundgesamtheiten oder bspw. einer zerstörenden Prüfung sind nur Teilerhebungen möglich. Je nachdem, nach welchem Auswahlverfahren die Teilerhebung erfolgt, ist die Übertragung von Ergebnissen der Teilerhebung auf die Grundgesamtheit (Hochrechnung) mehr oder minder problematisch. Ist diese Übertragung möglich, so ist die Stichprobe repräsentativ (Repräsentativität).

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/teilgesamtheit-48910 Teilmenge jeder Art einer Grundgesamtheit, z.B. Stichprobe i.w.S. (Teilerhebung), Schicht, Klumpen.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/zufallsstichprobe-49501 Ergebnis einer nach Zufallsauswahl (Auswahlverfahren) durchgeführten Teilerhebung. Da Zufallsstichproben nur zufallsabhängig sind, können ihre Kenngrößen mit Methoden der Inferenzstatistik auf die Grundgesamtheit übertragen werden (Hochrechnung). Eine Zufallsstichprobe wird daher als repräsentativ für die Grundgesamtheit bezeichnet.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundgesamtheit und Stichprobe Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit; ihre Größe ist immer begrenzt.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sample.html Eine Stichprobe ist eine Untermenge der Grundgesamtheit, ein Satz von n Zuständen einer Zufallsvariablen. Normalerweise sind statistische Daten Stichproben. Trotzdem sind die meisten statistischen Techniken für Grundgesamtheiten entwickelt worden. Das bringt mehrere Aspekte mit sich, über die man sich Gedanken machen sollte, wenn man mit statistischen Daten arbeitet:

   (1) Die Gleichungen, die für Grundgesamtheiten abgeleitet werden, gelten nicht für Stichproben, wenn die Zahl der Proben klein ist. In vielen Fällen gibt es spezielle Formeln für Stichproben, die immer dann verwendet werden sollten, wenn man einen statistischen Deskriptor für die Stichprobe berechnen muss. So ist zum Beispiel die Formel zur Berechnung der Varianz für Stichproben eine andere, als die für Grundgesamtheiten:

   für Populationen 		für Stichproben formeln ergänzen!

   (2) Eine Stichprobe muss nicht notwendigerweise für eine Grundgesamtheit repräsentativ sein. Eine repräsentative Stichprobe zeigt dieselben Eigenschaften wie die Population.

   (3) Die Verteilung der beprobten Daten könnte von der Verteilung der Originaldaten abweichen. Das ist speziell dann der Fall, wenn die Stichproben durch automatische Messgeräte mit unbekannter Vorverarbeitung der Daten gewonnen wurden (z.B. automatische Durchschnittsbildung bei der Datenerfassung).

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sampling.html Repräsentative Stichproben Das Ziehen von repräsentativen Stichproben kann einigen Aufwand erfordern. Ein Experimentator sollte sich immer fragen, ob die gezogenen Stichproben für die fragliche Grundgesamtheit repräsentativ sind. Einige Beispiele sollen das erläutern:

Ist man als Chemiker für die Überprüfung der Erzqualität einer Wagenladung Eisenerz verantwortlich, muss man sicher sein, dass die gezogene Stichprobe aus der Ladung repräsentativ für die gesamte Menge an Erz ist.

   Nehmen Sie an, Sie wären Forscher und an Informationen über die Nutzung des Autos in verschiedenen Ländern interessiert. Während die Bestimmung einer Zufallsstichprobe der französischen Grundgesamtheit durch zufällige Auswahl der Leute nach dem Telefonbuch noch funktionieren kann (so gut wie alle Bewohner Frankreichs haben Telefon), ist das bei der Auswahl der Stichprobe in Bangladesch sicher nicht der Fall.
   Bei einer Umfrage des Literary Digest über den Ausgang der Präsidentenwahl in den USA von 1936 (Landon gegen Roosevelt) nahmen die meisten an, dass Landon siegen würde. In Wirklichkeit gewann jedoch Roosevelt. Das Abstimmungsergebnis teilte sich entlang einer ökonomischen Linie. Reichere favorisierten Landon, ärmere Leute Roosevelt. Die Stichproben für die Untersuchung wurden mittels eines Telefonbuchs ausgewählt, was in einer nicht repräsentativen Stichprobe endete. (1936 tendierten Telefonbesitzer dazu, reicher zu sein als die allgemeine Bevölkerung. Daher bevorzugte dieses Probenziehen Wähler von Landon und vernachlässigte die Wähler Roosevelts.)

Eine Voraussetzung für repräsentative Stichproben ist, dass der Vorgang des Probenziehens zufällig erfolgt. Ein Beispiel soll das erläutern:

Ein Gärtner ändert seine Methode der Tulpenkultivierung. Um zu erfahren, ob die neue Methode erfolgreich ist, werden einige statistische Tests durchgeführt. Da die Größe der Tulpengrundgesamtheit (= alle verfügbaren Tulpen) ungefähr 4000 ist, entscheidet sich der Gärtner für eine Auswahl von 100 Blumen, um einen Schätzer der durchschnittlichen Länge der neu kultivierten Population zu berechnen.

Wie kann der Gärtner aus 4000 Blumen 100 auswählen, ohne die Messung durch subjektiven Einfluss zu verzerren? Beachten Sie: Probenziehen nach persönlichen "Standards" verursacht aus psychologischen Gründen fast immer Fehler. Vielleicht ist der Gärtner von der neuen Methode überzeugt oder verwirft sie aus bestimmten Gründen. Sogar wenn er versucht, objektiv zu bleiben, ist es fraglich, ob nicht dennoch unbewusste Manipulation des Probenziehens auftreten kann.

Eine übliche Methode, um repräsentative Stichproben zu schaffen, ist der Gebrauch von Zufallszahlen für die Auswahl von individuellen Testobjekten:

   Weisen Sie jedem Objekt eine fortlaufende Nummer zu.
   Berechnen Sie so viele Zufallszahlen, wie es die Stichprobe erfordert. Wenn Sie keinen zuverlässigen Zufallszahlengenerator haben, verwenden Sie Zufallszahlen aus einer Tabelle.
   Wählen Sie die Objekte mit der korrespondierenden Nummer aus. 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

mm

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

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eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

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NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

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(Wahrscheinlichkeits)Verteilung

Hlf Vert (lö)

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fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung Verteilung steht für:

• Verteilung einer Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Wahrscheinlichkeitsverteilung, siehe Wahrscheinlichkeitsmaß

https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung_einer_Zufallsvariablen Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Verteilung einer Zufallsvariablen ermöglicht es, aus einem „zu großen“ stochastischen Modell Informationen zu extrahieren und diesen wieder sinnvolle Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Ein Beispiel hierfür ist eine Lotto-Ziehung: Bei der Modellierung werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Zahlenkombination definiert. Man ist jedoch im Allgemeinen nicht an der Wahrscheinlichkeit interessiert, exakt eine bestimmte Zahlenfolge zu ziehen, sondern daran, wie groß die Wahrscheinlichkeit für „n Richtige“ ist. Man definiert dazu eine Zufallsvariable, welche die Informationen „Anzahl der Richtigen“ extrahiert. Die Verteilung dieser Zufallsvariablen gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass man „n Richtige“ gezogen hat.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß Ein Wahrscheinlichkeitsmaß dient dazu, den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu quantifizieren und Ereignissen, die durch Mengen modelliert werden, eine Zahl im Intervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} zuzuordnen. Diese Zahl repräsentiert dann die Wahrscheinlichkeit, mit der das durch die Menge beschriebene eintritt. Man verwendet typischerweise die Notation P ( B ) = c {\displaystyle \mathbb {P} (B)=c}, um dem Ereignis B {\displaystyle B} die Wahrscheinlichkeit c ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle c\in [0,1]} zuzuordnen.

Eine einfaches Beispiel ist das Werfen eines fairen Würfels X {\displaystyle X}: Dem Ereignis X = 2 {\displaystyle X=2}, dass die Augenzahl 2 geworfen wird, wird die Wahrscheinlichkeit P ( X = 2 ) = 1 6 {\displaystyle \mathbb {P} (X=2)={\tfrac {1}{6}}} zugeordnet.

Das Bildmaß eines Wahrscheinlichkeitsmaßes unter einer Zufallsvariable nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufallsverteilung, Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsgesetz.

Im Rahmen der Maßtheorie entsprechen die Wahrscheinlichkeitsmaße speziellen endlichen Maßen, die sich durch ihre Normiertheit auszeichnen.

Arten:

• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Mischformen

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/verteilung-47286 Statistik

Bezeichnung für eine empirische Häufigkeitsverteilung oder für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, die etwa durch eine Verteilungsfunktion, eine Dichtefunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben wird.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_intro.html Entnimmt man nacheinander Stichproben aus demselben zufälligen Prozess, erhält man leicht voneinander abweichende Ergebnisse. Der Mittelwert dieser Ergebnisse und deren Verteilung sind normalerweise ein guter Indikator für den beprobten Prozess. Ein kurzes Beispiel soll dies verständlich machen:

Nehmen Sie an, ein Physiker bäckt einen Rosinenkuchen und gibt 75 Rosinen in den Teig. Nach Rühren des Teigs und Backen des Kuchens schneidet er genau ein Drittel des Kuchens ab. Weil dieser Physiker Langeweile hat, zerbröselt er das Stück und zählt die Rosinen darin - nur 19 der zu erwartenden 25 Rosinen werden gefunden. Nun stellt sich die Frage, die den Physiker letztlich davon abhält, den Kuchen zu essen: Wie stehen die Chancen, ein Stück dieser Größe mit weniger als 20 Rosinen zu bekommen?

Bevor Sie in ein statistisches Lehrbuch schauen, möchten Sie vielleicht selbst ein Experiment durchführen. Klicken Sie auf das interaktive Beispiel, um das Experiment zu starten!

Sie sehen, dass die eigentliche Anzahl an Rosinen in einem Drittel des Kuchens um 25 schwankt. Das Histogramm der Häufigkeit des Vorkommens der verschiedenen Anzahlen von Rosinen könnte wie folgt aussehen:

Wenn Sie den Prozess des Kuchenbackens oft genug wiederholen und Sie die Balken des Histogramms schmal genug auftragen, werden Sie schließlich eine glatte Verteilung erhalten:

Als Nächstes möchte unser Physiker wissen, wie die Chancen stehen, mehr als 30 Rosinen in dem Kuchenstück zu finden. Eine Eigenschaft von Verteilungsdiagrammen ist, dass die relative Fläche zwischen zwei Werten auf der x-Achse die Chance, dass das korrespondierende Ereignis eintritt, wiedergibt. In unserem Beispiel kann der Physiker eine vertikale Linie bei 30 Rosinen ziehen. Die relative Fläche oberhalb dieser Markierung gibt die Chance, mehr als 30 Rosinen im Kuchenstück zu finden, an (was anhand der Verteilungskurve ungefähr 10 % ist).

Manchmal ist es schwer, die relative Fläche zu bestimmen. Dann sollte man die Verteilungskurve so skalieren, dass sie eine Fläche von exakt 1.0 hat. Die Fläche unterhalb der Kurve stellt die Chance, dass ein Ereignis in diesen Bereich fallen kann, dar. Diese Kurve wird Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (engl. probability density function, pdf) genannt:

Hinweis: Verwechseln Sie bitte das Skalieren der Fläche nicht mit dem Skalieren der y-Achse. Eine Verteilungskurve, die auf eine Fläche von 1.0 skaliert ist, hat nicht ein Maximum von 1.0; sehen Sie sich dazu auch das folgende interaktive Beispiel zur Erklärung an.

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Diskrete Verteilungen

• Weiterleitung: Diskrete Verteilung

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https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

Diskrete Verteilungen

→ Hauptartikel: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer diskreten Verteilung

Als diskrete Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf endlichen oder abzählbar unendlichen Grundräumen bezeichnet. Diese Grundräume werden fast immer mit der Potenzmenge als Mengensystem versehen, die Wahrscheinlichkeiten werden dann meist über Wahrscheinlichkeitsfunktionen definiert. Diskrete Verteilungen auf den natürlichen oder ganzen Zahlen können in den Messraum ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} eingebettet werden und besitzen dann auch eine Verteilungsfunktion. Diese zeichnet sich durch ihre Sprungstellen aus.

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung Eine diskrete (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung bzw. ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein spezielles Wahrscheinlichkeitsmaß in der Stochastik. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen leicht zu handhaben, da sie nur auf mathematisch „kleinen“ Mengen definiert sind. Dies verhindert einerseits das Auftreten von Paradoxien, wie sie der Satz von Vitali zeigt, und die damit verbundene Verwendung von komplexeren Mengensystemen wie der Borelschen σ-Algebra, andererseits kann dadurch auch auf die Verwendung von Integralen zugunsten der Verwendung von (endlichen oder unendlichen) Summen verzichtet werden.

Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem Ereignis „Die Münze zeigt Kopf“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis „Die Münze zeigt Zahl“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf.

Dieser Artikel behandelt Eigenschaften von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche für ebendiese charakteristisch sind. Für die allgemeinen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die auch für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelten, siehe den Hauptartikel zu den Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Definition

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn einer der folgenden drei Fälle gilt:

   Sie ist auf einer endlichen Menge definiert (meist { 0 , 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n\}}).
   Sie ist auf einer abzählbar unendlichen Menge definiert (meist die natürlichen Zahlen N {\displaystyle \mathbb {N} }).
   Sie ist auf einer beliebigen Menge definiert, nimmt aber nur auf höchstens abzählbar vielen Elementen dieser Menge einen positiven Wert an. Das bedeutet, es existiert eine höchstens abzählbare Menge M {\displaystyle M} mit P ( M ) = 1 {\displaystyle P(M)=1} (meist die natürlichen Zahlen, eingebettet in die reellen Zahlen).

Zufallsvariablen, deren Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als diskrete Zufallsvariablen bezeichnet.[1]

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/diskretes-merkmal-30369 in der Statistik Bezeichnung für ein quantitatives (metrisches) Merkmal mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen möglichen Ausprägungen. Bei überabzählbar vielen möglichen Ausprägungen spricht man von einem stetigen Merkmal.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_uniform_discrete.html Diskrete Verteilungen

• Bernoulliverteilung
• Diskrete Uniforme Verteilung
• Binomialverteilung
• Hypergeometrische Verteilung
• Poissonverteilung

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NN

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=	Ergebnis

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• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Stetige Verteilungen

• Weiterleitung: Stetige Verteilung

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https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

Stetige Verteilungen

→ Hauptartikel: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung

Verteilungen auf den reellen Zahlen, versehen mit der borelschen σ-Algebra werden als stetige Verteilung bezeichnet, wenn sie stetige Verteilungsfunktionen besitzen. Die stetigen Verteilungen lassen sich noch in absolutstetige und stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterteilen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung Die stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen, auch diffuse oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,[1] sind in der Stochastik eine große Klasse von häufig auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den absolutstetigen Verteilungen, aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden.

Definition

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P P auf den reellen Zahlen R \mathbb {R} , versehen mit der Borelschen σ-Algebra B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}.

Dann heißt P P eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die Verteilungsfunktion F P {\displaystyle F_{P}} von P P stetig ist.

Äquivalent dazu ist, dass P P atomlos ist. Das bedeutet, es existiert kein x ∈ R x\in \mathbb {R} , so dass P ( { x } ) > 0 {\displaystyle P(\{x\})>0} ist.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stetiges-merkmal-45782 in der Statistik Bezeichnung für ein Merkmal, bei dem mehr als abzählbar unendlich viele mögliche Ausprägungen vorkommen können oder zumindest denkbar sind.

Beispiele: Länge, Gewicht, Zeitdauer.

Wegen der in der Praxis immer beschränkten Messgenauigkeit bleibt ein stetiges Merkmal theoretische Modellvorstellung.

Gegensatz: diskretes Merkmal.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/wrapnt536530_kontinuierliche_verteilungen.html

Kontinuierliche Verteilungen

• Kontinuierliche Uniforme Verteilung
• Normalverteilung
• Lognormal-Verteilung
• Cauchy-Verteilung
• Exponentialverteilung
• Weibullverteilung
• Pareto-Verteilung

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NN

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=	Ergebnis

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Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

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=	Ergebnis

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Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

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Statistische Fehler

Hlf StatFehl

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https://de.wikipedia.org/wiki/Fehler_1._und_2._Art Die Fehler 1. und 2. Art, auch α-Fehler (Alpha-Fehler) und β-Fehler (Beta-Fehler) genannt, bezeichnen eine statistische Fehlentscheidung bei statistischen Tests. Sie beziehen sich auf eine Methode der mathematischen Statistik, den sogenannten Hypothesentest. Beim Test einer Hypothese liegt ein Fehler 1. Art vor, wenn die Nullhypothese zurückgewiesen wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist (beruhend auf einer zufällig erhöhten bzw. niedrigeren Anzahl positiver Ergebnisse). Dagegen bedeutet ein Fehler 2. Art, dass der Test die Nullhypothese fälschlicherweise nicht zurückweist, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist. Die Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art (auch α- und β-Risiko genannt) werden in Qualitätsmanagement und -kontrolle häufig Produzentenrisiko und Konsumentenrisiko genannt (siehe Prüflos). In der statistischen Prozesslenkung durch Qualitätsregelkarten verwendet man dafür die Begriffe blinder Alarm und unterlassener Alarm. Fehler 1. und 2. Art werden auch als frequentistische Konzepte bezeichnet.[1] Das Konzept des Fehlers 1. und 2. Art wurde von Neyman und Pearson eingeführt.[2]

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistische-testverfahren-41922 4. Gedankenfolge bei der Durchführung von Testverfahren, dargestellt für punktuelle Parameterhypothesen: Es wird zunächst eine kleine (z.B. 0,05) Wahrscheinlichkeit α dafür festgelegt, dass Ho fälschlich abgelehnt wird (Signifikanzniveau, Alpha-Fehler). Die Menge aller möglichen Stichprobenresultate wird in zwei Teilmengen derart zerlegt, dass der einen Teilmenge, der kritischen Region, bei Gültigkeit von Ho eine Wahrscheinlichkeit von höchstens α zukommt. Die Zerlegung erfolgt auf der Grundlage einer Prüfvariablen, z.B. dem Stichprobendurchschnitt bei der Prüfung eines Erwartungswertes. Liefert die Stichprobe einen Befund aus der kritischen Region, wird Ho beim Signifikanzniveau α abgelehnt, sonst beibehalten. Neben dem Risiko eines Alpha-Fehlers besteht auch das Risiko eines Beta-Fehlers, also der fälschlichen Beibehaltung von Ho.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/alpha-fehler-27459 Alpha-Fehler Fehler erster Art; möglicher Entscheidungsfehler bei statistischen Testverfahren. Ein Alpha-Fehler liegt vor, wenn eine Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Die supremale Wahrscheinlichkeit für einen Alpha-Fehler ist stets kleiner oder gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau α.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/beta-fehler-31627 Beta-Fehler Fehler zweiter Art; möglicher Entscheidungsfehler bei statistischen Testverfahren. Ein beta-Fehler liegt vor, wenn eine Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit eines beta-Fehlers hängt u.a. vom wahren Wert des zu prüfenden Parameters ab. Die supremale Wahrscheinlichkeit für einen beta-Fehler heißt Schärfe oder Power des entsprechenden Tests (s. Gütefunktion).

https://de.wikipedia.org/wiki/Statistischer_Test = Hypothesentest Ein statistischer Test dient in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen. Aus diesem Grund spricht man auch von einem Hypothesentest. Formal ist ein Test also eine mathematische Funktion, die einem Beobachtungsergebnis eine Entscheidung zuordnet. Da die vorhandenen Daten Realisierungen von Zufallsvariablen sind, lässt sich in den meisten Fällen nicht mit Sicherheit sagen, ob eine Hypothese wahr ist oder nicht. Man versucht daher, die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu kontrollieren. Meistens wird ein Hypothesentest in der Form eines Signifikanztests durchgeführt, der ein Test zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau ist.

Mögliche Fehlentscheidungen

Auch wenn es wünschenswert ist, dass der Test aufgrund der vorliegenden Daten „richtig“ entscheidet, besteht die Möglichkeit von Fehlentscheidungen. Im mathematischen Modell bedeutet dies, dass man bei richtiger Nullhypothese und Entscheidung für die Alternative einen Fehler 1. Art (α-Fehler) begangen hat. Falls man die Nullhypothese bestätigt sieht, obwohl sie nicht stimmt, begeht man einen Fehler 2. Art (β-Fehler).

In der statistischen Praxis macht man aus diesem vordergründig symmetrischen Problem ein asymmetrisches: Man legt also ein Signifikanzniveau α fest, das eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art liefert. Tests mit dieser Eigenschaft heißen Test zum Niveau α {\displaystyle \alpha }. Im Anschluss daran versucht man, einen optimalen Test zum vorgegebenen Niveau dadurch zu erhalten, dass man unter allen Tests zum Niveau α einen sucht, der die geringste Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art aufweist.

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Berechnung

NN

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=	Ergebnis

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Excel

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Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
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NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

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• [

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Fehler 1. Art (Alpha-Fehler)

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Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

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Fehler 2. Art (Beta-Fehler)

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• Hackl ua (1982), S. 17;

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• Hackl ua (1982), S. 17;

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Literatur

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• Hackl ua (1982), S. 17;

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Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

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	Variable
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Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

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Literatur

Fachliteratur

" *)mwN ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben

* Aschauer / Purtscher (2023), S. ;

• Bachl (2018), S. ;
• Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
• Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
• Ihlau / Duscha (2019), S. ;
• Mandl / Rabel (1997), S. ;
• WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
• WPH-Edition (2018), Rz. A ;

• Kruschwitz ua (2009), S. 56 ff;

Zu Lit Kruschwitz ua (2009): Kruschwitz ua, "Unternehmensbewertung für die Praxis", Schäffer-Poeschel 2009;

Unterlage(n)

Sortiert nach Dateiname

* Hager: Auffrischung mathematischer Grundkenntnisse, Basisseminar BFA, Datei:Mathematik-Auffrischung.pdf, Stand August 2023;

Folien

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur ev, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Statistik https://de.wiktionary.org/wiki/Statistik https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistik-45267

• [

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• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

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Einzelnachweise

[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]