Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Statistik

Seite aus Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Diverse Hinweise#Statistik (31.1.2024) lö

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Begriff (lö)

 ok 

Statistik' ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten.

Die Statistik beschäftigt sich mit unter gleichen Rahmenbedingungen wiederholt beobachtbare Vorgänge (Massenphänomenen). Ihre Aussagen sind auf die Grundgesamtheit gerichtet. Meist werden nicht alle Objekte und ihre Ausprägungen erhoben (Vollerhebung), sondern nur eine Stichprobe.

Wissenschaftliche Einordnung

Hlf Wi (lö)

 ok 

Die Statistik bildet gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie die Stochastik. Sie stellt aber auch einen eigenständiger Teilbereich der Mathematik (Mathematische Statistik) dar. Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, zB Ökonometrie.

Die Statistik wird manchmal unterteilt:

• beschreibende Statistik (deskriptive Statistik): In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll.

• beurteilende Statistik (schließende Statistik): In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik.

Stochastik

• Weiterleitung: Stochastik

 (zT) ok 

Stochastik ist der Oberbegriff für Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. WahrscheinlichkeitsrechnungLemma? und für Statistik . Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Weblinks

• Stochastik bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Stochastik bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Ökonometrie

• Weiterleitung: Ökonometrie

 ok 

Die Ökonometrie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die ökonomische Theorie sowie mathematische Methoden und statistische Daten zusammenführt, um wirtschaftstheoretische Modelle empirisch zu überprüfen und ökonomische Phänomene quantitativ zu analysieren.

Weblinks

• Ökonometrie bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Ökonometrie bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Wahrscheinlichkeitstheorie

• Weiterleitung: Wahrscheinlichkeitstheorie

 ok 

Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Analyse von zufälligen Phänomenen Wahrscheinlichkeit beschäftigt.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie nützt das Wissen über alle möglichen Ergebnisse eines Experiments, auch Grundgesamtheit genannt, um auf die Wahrscheinlichkeit besonderer Ergebnisse zu schließen. Die Statistik versucht den umgekehrten Weg zu gehen, indem sie eine endliche Zahl an Beobachtungen verwendet, um einen Schluss über die ganze Grundgesamtheit zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft diese Schlüsse zu überprüfen und stellt Richtlinien für den Experimentaufbau zu einer bestimmten Frage auf.

Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind:

• zufällige Ereignisse,
• Zufallsvariablen und
• stochastische Prozesse.

Weblinks

• Wahrscheinlichkeitstheorie bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Wahrscheinlichkeitstheorie bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Kombinatorik

• Weiterleitung: Kombinatorik

 (zT) ok 

Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Kombinatorik werden Anzahlberechnungen von möglichen Kombinationen durchgeführt. Ein Hilfsmittel ist das Urnenmodell.

Weblinks

• Kombinatorik bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Kombinatorik bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Bedeutung

 ok 

• Viele Variablen der Unternehmensbewertung beruhren auf statistishen Daten: Marktrisikoprämie, Beta-Faktoren
• Weiters Marktdaten und Volkswirtschaftliche Kennzahlen.

Wichtige Kenngrößen

 ok 

In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.

Arten:

• Lageparameter
• Streuungsparameter
• Gestaltparameter

Lageparameter

Hauptartikel-> Lageparameter

• Synonyme: Lagewert

 ok 

Lageparameter geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen.

Mitte der Datenmenge

Hauptartikel-> Mittelwert, Median, Modalwert

Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:

• Mittelwerte insbesondere arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel.
• Median
• Modalwert

Extremwerte

Hauptartikel-> Extremwert

siehe auch-> Spannweite

Extremwerte sind das Minimum und das Maximum.

Ausreißer

Hauptartikel-> Ausreißer

Ausreißer sind Werte, die sich von den anderen Werten der Stichprobe abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der linearen Regression) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.

Quantil

Hauptartikel-> Quantil

Ein Quantil ist ein Lagemaß, das in der Wahrscheinlichkeitsverteilung links die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] und rechts die Wahrscheinlichkeit [math]{1-p}[/math] angibt. Im Box-Plot ist das untere und obere Quartil als Endpunkte der Box ersichtlich.

Spezielle Quantile sind:

• Median p = 50%
• Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
• Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.

Darstellung (Box-Plot)

Box-Plot; ex Wikimedia, erst. RobSeb

Hauptartikel-> Box-Plot

• Synonyme: Kastengrafik, Schachteldiagramme

Box-Plots (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.

Streuungsparameter

Hauptartikel-> Streuungsparameter

• Synonyme: Streuungsmaß

ok

Die Streuungsparameter (Streuungsmaße) sind Meßzahlen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben.

Wichtige Streuungsparameter:

• Varianz,
• Standardabweichung,
• Variationskoeffizient,
• Interquartilsabstand und
• Spannweite.

Varianz

Hauptartikel-> Varianz

Die Varianz ([math]\sigma^2[/math]) ergibt sich aus der quadratischen Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.

Standardabweichung

Hauptartikel-> Standardabweichung

Die Standardabweichung [math]\sigma [/math] ist die Wurzel der Varianz.

Variationskoeffizient

Hauptartikel-> Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient [math]{VCo} [/math] ist das Verhältnis zwischen Standardabweichung und (arithmetischem) Mittelwert.

Interquartilsabstand

Hauptartikel-> Interquartilsabstand

siehe auch-> Box-Plot

Der Interquartilsabstand [math]{IQA} [/math] stellt den Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil dar. In seiner Mitte befindet sich der Median. Er enthält genau 50% der Datensätze.

Spannweite

Hauptartikel-> Spannweite

siehe auch-> Extremwert

Die Spannweite [math] R [/math] zeigt die Abweichung zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert.

Erwartungswert

Hauptartikel-> Erwartungswert

 ok 

Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider. Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt.

Gestaltparameter

Hlf (lö)

• Weiterleitung: Gestaltparameter

  ok 

Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt:

• Schiefe und
• Wölbung.

Schiefe

• Weiterleitung: Schiefe (Statistik)

 ok 

Linksschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Rechtsschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Schiefe ist in der Statistik die Bezeichnung für die Eigenschaft einer Verteilung asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet rechtsschiefe (linkssteile, positive Schiefe) und linksschiefe (rechtssteile, negative Schiefe) Verteilungen (Diagramme). rechts (rechtssteil, linksschief) oder nach links (linkssteil, rechtsschief)

Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 3.2.2024.</ref>

• rechtsschief: [math]x_\text{mod} \lt x_\text{med} \lt \overline{x} [/math]
• symmetrisch: [math]x_\text{mod} = x_\text{med} = \overline{x}[/math]
• linksschief: [math]x_\text{mod} \gt x_\text{med} \gt \overline{x}[/math]

Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen.

Weblinks

• Schiefe (Statistik) bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Schiefe bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Schiefe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Wölbung

• Weiterleitung: Wölbung (Statistik)

 ok 

Steilgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Flachgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Wölbung (Kurtosis) ist eine Maßzahl für die Steilheit / flachheit einer unimodalen (eingipfligen) Verteilung. Die Differenz der Wölbung der betrachteten Verteilung zur Normalverteilung wird als Exzess bezeichnet.

Weblinks

• Wölbung (Statistik) bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Kurtosis bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Grundgesamtheit / Stichprobe

Hlf Grges

• Weiterleitung:

fe 

eigene

Berechnung

Literatur

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Grundgesamtheit

• Weiterleitung: Grundgesamtheit

 (zT) ok 

https://de.wikipedia.org/wiki/Grundgesamtheit

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/grundgesamtheit-35039

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html

eigene Eine Grundgesamtheit ist die Menge aller möglichen Objekte über die man im Zuge einer statistischen Erhebung eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann begrenzt oder unbegrenzt sein. Die Grundgesamtheit, die die Grundlage einer statistischen Untersuchung bildet, muss immer exakt definiert sein (was manchmal gar nicht einfach ist). Nur so ist es möglich, vergleichbare Ergebnisse zu bekommen. Am besten man definiert neben den sachlichen Bedingungen ("was soll untersucht werden") auch noch die örtlichen und zeitlichen Rahmenbedingungen.

Die Grundgesamtheit kann erhoben werden:

• Vollerhebung oder
• Stichprobe.

Berechnung

Literatur

Weblinks

• Grundgesamtheit bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Grundgesamtheit bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Grundgesamtheit und Stichprobe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Stichprobe

• Weiterleitung: Stichprobe

 (zT) ok 

https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe

Auswahlverfahren

Zufallsauswahl

Bewusste Auswahl

Willkürliche Auswahl

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stichprobe-44243

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/teilerhebung-47171

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/teilgesamtheit-48910

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/zufallsstichprobe-49501

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundgesamtheit und Stichprobe

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sample.html

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sampling.html Repräsentative Stichproben

eigene http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sample.html Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit; ihre Größe ist immer begrenzt.

Die Formeln der Grundgesamtheit gelten nicht für die Stichprobe.

Eine Stichprobe muss nicht notwendigerweise für eine Grundgesamtheit repräsentativ sein. Eine repräsentative Stichprobe zeigt dieselben Eigenschaften wie die Population.

Auswahl der Stichprobe:

• Zufallsstichprobe
• systematische Auswahl
• willkürliche Auswahl

Bei einer Zufallsauswahl (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl oder Random Sample genannt) hat jedes Element der Grundgesamtheit eine angebbare (meist die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen (Einschlusswahrscheinlichkeit). Eine Zufallsstichprobe ist notwendig, wenn die Stichprobe repräsentativ sein soll. Aus einer repräsentativen Stichprobe kann eine Hochrechnung, dh eine geschätzte Extrapolation eines Gesamtergebnisses aus einem Teilergebnis, vorgenommen werden.

Bei einer systematischen Stichprobenziehung werden bereits bekannte Informationen über die auszuwählenden Fälle genutzt, zB wenn die Kundenwünsche erhoben werden sollen, kann man sich auf die Zielgruppe beschränken.

Bei willkürlichen Stichproben werden Elemente aus der Grundgesamtheit (etwa von einem Interviewer) mehr oder weniger willkürlich in die Stichprobe aufgenommen, oft gemäß Praktikabilität. Die Auswahl liegt im Ermessen der Forschers (der Fragesteller sucht beispielsweise einzelne Passanten aus) oder der Probanden (die Befragten nehmen aus eigenem Antrieb an einer Befragung teil, siehe Selbstselektion). Stichproben mit willkürlichem Auswahlprinzip werden oft gewählt, da sie mit dem geringsten Aufwand und den geringsten Kosten verbunden sind, weisen aber oft große Verzerrungen auf.

Berechnung

Literatur

Weblinks

• Stichprobe bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Stichprobe bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Grundgesamtheit und Stichprobe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;
• Stichprobe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

mm

• Weiterleitung:

fe 

(Wahrscheinlichkeits)Verteilung

Hlf Vert (lö)

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung Verteilung steht für:

• Verteilung einer Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Wahrscheinlichkeitsverteilung, siehe Wahrscheinlichkeitsmaß

https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung_einer_Zufallsvariablen Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Verteilung einer Zufallsvariablen ermöglicht es, aus einem „zu großen“ stochastischen Modell Informationen zu extrahieren und diesen wieder sinnvolle Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Ein Beispiel hierfür ist eine Lotto-Ziehung: Bei der Modellierung werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Zahlenkombination definiert. Man ist jedoch im Allgemeinen nicht an der Wahrscheinlichkeit interessiert, exakt eine bestimmte Zahlenfolge zu ziehen, sondern daran, wie groß die Wahrscheinlichkeit für „n Richtige“ ist. Man definiert dazu eine Zufallsvariable, welche die Informationen „Anzahl der Richtigen“ extrahiert. Die Verteilung dieser Zufallsvariablen gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass man „n Richtige“ gezogen hat.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß Ein Wahrscheinlichkeitsmaß dient dazu, den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu quantifizieren und Ereignissen, die durch Mengen modelliert werden, eine Zahl im Intervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} zuzuordnen. Diese Zahl repräsentiert dann die Wahrscheinlichkeit, mit der das durch die Menge beschriebene eintritt. Man verwendet typischerweise die Notation P ( B ) = c {\displaystyle \mathbb {P} (B)=c}, um dem Ereignis B {\displaystyle B} die Wahrscheinlichkeit c ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle c\in [0,1]} zuzuordnen.

Eine einfaches Beispiel ist das Werfen eines fairen Würfels X {\displaystyle X}: Dem Ereignis X = 2 {\displaystyle X=2}, dass die Augenzahl 2 geworfen wird, wird die Wahrscheinlichkeit P ( X = 2 ) = 1 6 {\displaystyle \mathbb {P} (X=2)={\tfrac {1}{6}}} zugeordnet.

Das Bildmaß eines Wahrscheinlichkeitsmaßes unter einer Zufallsvariable nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufallsverteilung, Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsgesetz.

Im Rahmen der Maßtheorie entsprechen die Wahrscheinlichkeitsmaße speziellen endlichen Maßen, die sich durch ihre Normiertheit auszeichnen.

Arten:

• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Mischformen

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/verteilung-47286 Statistik

Bezeichnung für eine empirische Häufigkeitsverteilung oder für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, die etwa durch eine Verteilungsfunktion, eine Dichtefunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben wird.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_intro.html Entnimmt man nacheinander Stichproben aus demselben zufälligen Prozess, erhält man leicht voneinander abweichende Ergebnisse. Der Mittelwert dieser Ergebnisse und deren Verteilung sind normalerweise ein guter Indikator für den beprobten Prozess. Ein kurzes Beispiel soll dies verständlich machen:

Nehmen Sie an, ein Physiker bäckt einen Rosinenkuchen und gibt 75 Rosinen in den Teig. Nach Rühren des Teigs und Backen des Kuchens schneidet er genau ein Drittel des Kuchens ab. Weil dieser Physiker Langeweile hat, zerbröselt er das Stück und zählt die Rosinen darin - nur 19 der zu erwartenden 25 Rosinen werden gefunden. Nun stellt sich die Frage, die den Physiker letztlich davon abhält, den Kuchen zu essen: Wie stehen die Chancen, ein Stück dieser Größe mit weniger als 20 Rosinen zu bekommen?

Bevor Sie in ein statistisches Lehrbuch schauen, möchten Sie vielleicht selbst ein Experiment durchführen. Klicken Sie auf das interaktive Beispiel, um das Experiment zu starten!

Sie sehen, dass die eigentliche Anzahl an Rosinen in einem Drittel des Kuchens um 25 schwankt. Das Histogramm der Häufigkeit des Vorkommens der verschiedenen Anzahlen von Rosinen könnte wie folgt aussehen:

Wenn Sie den Prozess des Kuchenbackens oft genug wiederholen und Sie die Balken des Histogramms schmal genug auftragen, werden Sie schließlich eine glatte Verteilung erhalten:

Als Nächstes möchte unser Physiker wissen, wie die Chancen stehen, mehr als 30 Rosinen in dem Kuchenstück zu finden. Eine Eigenschaft von Verteilungsdiagrammen ist, dass die relative Fläche zwischen zwei Werten auf der x-Achse die Chance, dass das korrespondierende Ereignis eintritt, wiedergibt. In unserem Beispiel kann der Physiker eine vertikale Linie bei 30 Rosinen ziehen. Die relative Fläche oberhalb dieser Markierung gibt die Chance, mehr als 30 Rosinen im Kuchenstück zu finden, an (was anhand der Verteilungskurve ungefähr 10 % ist).

Manchmal ist es schwer, die relative Fläche zu bestimmen. Dann sollte man die Verteilungskurve so skalieren, dass sie eine Fläche von exakt 1.0 hat. Die Fläche unterhalb der Kurve stellt die Chance, dass ein Ereignis in diesen Bereich fallen kann, dar. Diese Kurve wird Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (engl. probability density function, pdf) genannt:

Hinweis: Verwechseln Sie bitte das Skalieren der Fläche nicht mit dem Skalieren der y-Achse. Eine Verteilungskurve, die auf eine Fläche von 1.0 skaliert ist, hat nicht ein Maximum von 1.0; sehen Sie sich dazu auch das folgende interaktive Beispiel zur Erklärung an.

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Diskrete Verteilungen

• Weiterleitung: Diskrete Verteilung

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

Diskrete Verteilungen

→ Hauptartikel: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer diskreten Verteilung

Als diskrete Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf endlichen oder abzählbar unendlichen Grundräumen bezeichnet. Diese Grundräume werden fast immer mit der Potenzmenge als Mengensystem versehen, die Wahrscheinlichkeiten werden dann meist über Wahrscheinlichkeitsfunktionen definiert. Diskrete Verteilungen auf den natürlichen oder ganzen Zahlen können in den Messraum ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} eingebettet werden und besitzen dann auch eine Verteilungsfunktion. Diese zeichnet sich durch ihre Sprungstellen aus.

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung Eine diskrete (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung bzw. ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein spezielles Wahrscheinlichkeitsmaß in der Stochastik. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen leicht zu handhaben, da sie nur auf mathematisch „kleinen“ Mengen definiert sind. Dies verhindert einerseits das Auftreten von Paradoxien, wie sie der Satz von Vitali zeigt, und die damit verbundene Verwendung von komplexeren Mengensystemen wie der Borelschen σ-Algebra, andererseits kann dadurch auch auf die Verwendung von Integralen zugunsten der Verwendung von (endlichen oder unendlichen) Summen verzichtet werden.

Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem Ereignis „Die Münze zeigt Kopf“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis „Die Münze zeigt Zahl“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf.

Dieser Artikel behandelt Eigenschaften von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche für ebendiese charakteristisch sind. Für die allgemeinen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die auch für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelten, siehe den Hauptartikel zu den Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Definition

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn einer der folgenden drei Fälle gilt:

   Sie ist auf einer endlichen Menge definiert (meist { 0 , 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n\}}).
   Sie ist auf einer abzählbar unendlichen Menge definiert (meist die natürlichen Zahlen N {\displaystyle \mathbb {N} }).
   Sie ist auf einer beliebigen Menge definiert, nimmt aber nur auf höchstens abzählbar vielen Elementen dieser Menge einen positiven Wert an. Das bedeutet, es existiert eine höchstens abzählbare Menge M {\displaystyle M} mit P ( M ) = 1 {\displaystyle P(M)=1} (meist die natürlichen Zahlen, eingebettet in die reellen Zahlen).

Zufallsvariablen, deren Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als diskrete Zufallsvariablen bezeichnet.[1]

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/diskretes-merkmal-30369 in der Statistik Bezeichnung für ein quantitatives (metrisches) Merkmal mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen möglichen Ausprägungen. Bei überabzählbar vielen möglichen Ausprägungen spricht man von einem stetigen Merkmal.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_uniform_discrete.html Diskrete Verteilungen

• Bernoulliverteilung
• Diskrete Uniforme Verteilung
• Binomialverteilung
• Hypergeometrische Verteilung
• Poissonverteilung

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Stetige Verteilungen

• Weiterleitung: Stetige Verteilung

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

Stetige Verteilungen

→ Hauptartikel: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung

Verteilungen auf den reellen Zahlen, versehen mit der borelschen σ-Algebra werden als stetige Verteilung bezeichnet, wenn sie stetige Verteilungsfunktionen besitzen. Die stetigen Verteilungen lassen sich noch in absolutstetige und stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterteilen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung Die stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen, auch diffuse oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,[1] sind in der Stochastik eine große Klasse von häufig auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den absolutstetigen Verteilungen, aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden.

Definition

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P P auf den reellen Zahlen R \mathbb {R} , versehen mit der Borelschen σ-Algebra B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}.

Dann heißt P P eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die Verteilungsfunktion F P {\displaystyle F_{P}} von P P stetig ist.

Äquivalent dazu ist, dass P P atomlos ist. Das bedeutet, es existiert kein x ∈ R x\in \mathbb {R} , so dass P ( { x } ) > 0 {\displaystyle P(\{x\})>0} ist.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stetiges-merkmal-45782 in der Statistik Bezeichnung für ein Merkmal, bei dem mehr als abzählbar unendlich viele mögliche Ausprägungen vorkommen können oder zumindest denkbar sind.

Beispiele: Länge, Gewicht, Zeitdauer.

Wegen der in der Praxis immer beschränkten Messgenauigkeit bleibt ein stetiges Merkmal theoretische Modellvorstellung.

Gegensatz: diskretes Merkmal.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/wrapnt536530_kontinuierliche_verteilungen.html

Kontinuierliche Verteilungen

• Kontinuierliche Uniforme Verteilung
• Normalverteilung
• Lognormal-Verteilung
• Cauchy-Verteilung
• Exponentialverteilung
• Weibullverteilung
• Pareto-Verteilung

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

mm

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

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eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Statistische Fehler

• Weiterleitung: Alpha-Fehler, Beta-Fehler, Entscheidungsfehler,

 (zT) ok 

Eine Hypothese beizeichnet in der Statistik eine Annahme, die mit Methoden der mathematischen Statistik auf Basis empirischer Daten geprüft wird. Dabei können zwei Entscheidungsfehler unterlaufen:

• Fehler 1. Art (Alpha-Fehler): die Hypothese wird abgelehnt, obwohl sie stimm.
• Fehler 2. Art (Beta-Fehler): die Hypothese wird angenommen, obwohl sie nicht stimmt.

Berechnung

Literatur

Weblinks

• Fehler 1. und 2. Art bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Statistische Testverfahren bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

• Alpha-Fehler bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

• Beta-Fehler bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

NN

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

mm

• Weiterleitung:

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• Synonyme: [[]]

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Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

NN

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NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Literatur

Fachliteratur

" *)mwN ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben

* Aschauer / Purtscher (2023), S. ;

• Bachl (2018), S. ;
• Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
• Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
• Ihlau / Duscha (2019), S. ;
• Mandl / Rabel (1997), S. ;
• WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
• WPH-Edition (2018), Rz. A ;

• Kruschwitz ua (2009), S. 56 ff;

Zu Lit Kruschwitz ua (2009): Kruschwitz ua, "Unternehmensbewertung für die Praxis", Schäffer-Poeschel 2009;

Unterlage(n)

Sortiert nach Dateiname

* Hager: Auffrischung mathematischer Grundkenntnisse, Basisseminar BFA, Datei:Mathematik-Auffrischung.pdf, Stand August 2023;

Folien

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur ev, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Statistik https://de.wiktionary.org/wiki/Statistik https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistik-45267

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Einzelnachweise

[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]