Mittelwert: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Bewertungshilfe
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
−
#WEITERLEITUNG [[Modalwert#Weitere_statistische_Ma.C3.9Fe_der_zentralen_Tendenz]]
+
'''Kurzinfo!'''
 +
 
 +
Diese Seite stellt die für die [[Unternehmensbewertung]] wichtigen Aspekte des Themas dar, erhebt aber '''keinen Anspruch auf Vollständigkeit.'''
 +
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[Durchschnitt]], [[Mittel]] ändern. -->
 +
<!-- ''Hauptartikel-> [[]]'' -->
 +
* Synonyme: ''[[Durchschnitt]], [[Mittel]]''
 +
''siehe auch-> [[Modus]], [[Median]]''
 +
<small> </small> <u> </u> <!--  -->
 +
 
 +
Der '''Mittelwert''' (Mittel, Durchschnitt) ist ein [[Statistik|statistischer]] [[Lageparameter]], der die Mitte der [https://de.wikipedia.org/wiki/Variable_(Mathematik) Variablen] nach verschiedenen Methoden berechnet. Der Mittelwert der [https://de.wikipedia.org/wiki/Grundgesamtheit Grundgesamtheit] wird mit <math>\mu</math> bezeichnet, bei der [https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Stichprobe] kommt <math>\overline{x}</math> zur Anwendung.
 +
 
 +
Wenn der Begriff "Mittelwert" ohne nähere Bestimmung verwendet wird, ist damit üblicherweise das [[arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] gemeint.<ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
 
 +
Der Mittelwert kann durch auch [[Gewichtung]] der Variablen bzw. die Verwendung von [[Erwartungswert]]en ermittelt werden.
 +
 
 +
Der Mittelwert ist eine gute Annäherung an die zentrale Tendenz einer unimodalen symmetrischen [[Verteilung]], kann aber bei schiefen oder multimodalen<ref>D.h. mehrere [[Modus|Modi]] aufweisend.</ref> Verteilungen irreführend sein. Daher ist es hilfreich, bei [[Schiefe (Statistik)|schiefen]] Verteilungen zusätzlich andere Lagemaße zu bestimmen (so ist z.B. der Median bei schiefen Verteilungen oder bei [[Ausreißer]]n deutlich robuster).<ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert], abgefragt 4.2.2024.</ref> Im [[Box-Plot]] wird der Mittelwert manchmal als "+" in der Box dargestellt.
 +
 
 +
Zum Zusammenhang von [[Modus]] und (artihmetischen) Mittelwert bei symetrischen und schiefen [[Verteilung]]en vgl. [[Schiefe (Statistik)]].
 +
 
 +
<u>Arten:</u>
 +
* [[Mittelwert#Arithmetisches Mittel|Arithmetisches Mittel]]
 +
* [[Mittelwert#Geometrisches Mittel|Geometrisches Mittel]]
 +
* [[Mittelwert#Harmonisches Mittel|Harmonisches Mittel]]
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisches_Mittel Quadratisches Mittel]
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kubisches_Mittel Kubisches Mittel]
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmisches_Mittel Logarithmisches Mittel]
 +
 
 +
Die ersten drei Mittelwerte werden auch als klassische Mittelwerte bezeichnet, da sie schon in der Antike bekannt waren.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Geschichte Wikipedia, Stichwort: Mittelwert], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
 
 +
== Arithmetisches Mittel ==
 +
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[Arithmetisches Mittel]] ändern. -->
 +
<!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
 +
* Synonyme: ''[[]]''
 +
''siehe auch-> [[]]'' -->
 +
<small> </small> <u> </u> <!--  -->
 +
 
 +
Das '''arithmetische Mittel''' ergibt sich aus der Summe aller Werte geteilt durch die Zahl der Variablen.
 +
 
 +
Das arithmetische Mittel ist leicht zu rechnen und leicht verständlich, ist aber nicht immer die erste Wahl.<ref>Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 313.</ref>
 +
 
 +
Wenn der Begriff "Mittelwert" ohne nähere Bestimmung verwendet wird, ist damit üblicherweise das arithmetische Mittel gemeint.
 +
 
 +
<u>Berechnung</u><ref>Aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert Wikipedia, Stichwort: Mittelwert], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
:<math>\bar{x}_{\mathrm{arithm}} =  \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n}</math>
 +
 
 +
Beispiel: Das arithmetische Mittel der beiden Zahlen 1 und 2 ist (1 + 2) / 2 = 1,5.
 +
 
 +
<u>Excel</u>
 +
Das arithmetische Mittel wird in Excel mit der Funktion ''MITTELWERT()'' berechnet.<ref>Vgl. [https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiGk-Cl1ZGEAxXj7LsIHUnAC58QFnoECA0QAw&url=https%3A%2F%2Fsupport.microsoft.com%2Fde-de%2Foffice%2Fmittelwert-funktion-047bac88-d466-426c-a32b-8f33eb960cf6&usg=AOvVaw2k4jIWML5hWTbtJpeWtCOH&opi=89978449 Microsoft Support, Stichwort Mittelwert], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
 
 +
<u>Literatur</u>
 +
* Aschauer / Purtscher (2023), S. 31;
 +
* Falkenberg (1975), S. 136;
 +
* Hackl u.a. (1982), S. 15;
 +
 
 +
<u>Weblinks</u>
 +
 
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Mittel Arithmetisches Mittel bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/arithmetisches-mittel-28711 Arithmetisches Mittel bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert Mittelwert bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html Mittelwert bei Grundlagen Statistik], abgefragt 4.2.2024;
 +
 
 +
== Geometrisches Mittel ==
 +
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[Geometrisches Mittel]] ändern. -->
 +
<!--  ''Hauptartikel-> [[]]''
 +
* Synonyme: ''[[]]''
 +
''siehe auch-> [[]]'' -->
 +
<small> </small> <u> </u> <!--  -->
 +
 
 +
Das '''geometrische Mittel''' wird als n-te Wurzel aus dem Produkt aller n-Faktoren berechnet. Es schwerer verständlich als das aritmetische Mittel, dafür aber belastbarer.<ref>Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 227.</ref>
 +
 
 +
<u>Berechnung</u><ref>Aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Geometrisches_Mittel Wikipedia, Stichwort: Mittelwert], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
:<math>\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dotsm x_n}</math>
 +
 
 +
Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert ≈ 1,41 der Quatratwurzel von 3.
 +
 
 +
<u>Excel</u>
 +
Das geometrische Mittel wird in Excell mit der Funktion GEOMITTEL() berechnet.<ref>Vgl. [https://support.microsoft.com/de-de/office/geomittel-funktion-db1ac48d-25a5-40a0-ab83-0b38980e40d5 Microsoft Support, Stichwort Geomittel], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
 
 +
<u>Literatur</u>
 +
* Falkenberg (1975), S. 136;
 +
* Hackl u.a. (1982), S. 16;
 +
 
 +
<u>Weblinks</u>
 +
 
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisches_Mittel Geometrisches Mittel bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/geometrisches-mittel-34762 Geometrisches Mittel bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Geometrisches_Mittel Mittelwert bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html Mittelwert bei Grundlagen Statistik], abgefragt 4.2.2024;
 +
 
 +
== Harmonisches Mittel ==
 +
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[Harmonisches Mittel]] ändern. -->
 +
<!--  ''Hauptartikel-> [[]]''
 +
* Synonyme: ''[[]]''
 +
''siehe auch-> [[]]'' -->
 +
<small> </small> <u> </u> <!--  -->
 +
 
 +
Das '''harmonische Mittel''' ist definiert als der Kehrwert des Mittelwerts der Kehrwerte.<ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
 
 +
Es schwerer verständlich als das aritmetische Mittel, dafür aber belastbarer.<ref>Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 313.</ref>
 +
 
 +
<u>Berechnung</u><ref>Aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Harmonischer_Mittelwert Wikipedia, Stichwort: Mittelwert], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
:<math>\bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dotsb + \frac{1}{x_n}}</math>
 +
 
 +
<u>Excel</u>
 +
Das harmonische Mittel wird in Excell mit der Funktion HARMITTEL() berechnet.<ref>Vgl. [https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjc36Dv15GEAxWZgP0HHQK2Bp0QFnoECBoQAQ&url=https%3A%2F%2Fsupport.microsoft.com%2Fde-de%2Foffice%2Fharmittel-funktion-5efd9184-fab5-42f9-b1d3-57883a1d3bc6&usg=AOvVaw3ce5giFBoaBHpQ55nB8fMT&opi=89978449 Microsoft Support, Stichwort Harmittel], abgefragt 4.2.2024.</ref>
 +
 
 +
<u>Literatur</u>
 +
* Aschauer / Purtscher (2023), S. 312;
 +
* Falkenberg (1975), S. 135;
 +
 
 +
<u>Weblinks</u>
 +
 
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonisches_Mittel Harmonisches Mittel bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/harmonisches-mittel-34824 Harmonisches Mittel bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Harmonischer_Mittelwert Mittelwert bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html Mittelwert bei Grundlagen Statistik], abgefragt 4.2.2024;
 +
 
 +
== Gewichtung ==
 +
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[Gewichtung]] ändern. -->
 +
<!--  ''Hauptartikel-> [[]]''
 +
* Synonyme: ''[[]]''
 +
''siehe auch-> [[]]'' -->
 +
<small> </small> <u> </u> <!--  -->
 +
 
 +
Unter '''Gewichtung ''' versteht man die Bewertung einzelner Einflussgrößen eines mathematischen Modells beispielsweise hinsichtlich ihrer Wichtigkeit oder Zuverlässigkeit. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Gewichtung Wikipedia, Stichwort: Gewichtung], abgefragt 4.2.2024.</ref> Sie führt dazu, dass einige Elemente größeren Einfluss auf das Ergebnis haben. 
 +
 
 +
<u>Weblinks</u>
 +
 
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Gewichtete_Mittel Gewichtete Mittel bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gewichtung Gewichtung bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/gewichtung-35417 Gewichtung bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 4.2.2024;
 +
 
 +
== Literatur ==
 +
<small> </small> <u> </u> <!--  -->
 +
<!-- === Gesetz ===
 +
 
 +
=== Erlässe ===
 +
 
 +
=== Fachgutachten ===
 +
 
 +
=== Fachliteratur ===
 +
" *)mwN <small>ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben</small>
 +
 
 +
=== Judikatur ===
 +
 
 +
=== Unterlage(n) ===
 +
<small> Sortiert nach Dateiname </small>
 +
 
 +
=== Folien ===
 +
-->
 +
<small>''siehe auch-> einzelne Kapitel''</small>
 +
 
 +
''siehe auch -> [[Liste der verwendeten Literatur]], [[Liste englische Fachausdrücke]],
 +
[[Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole]], [[Liste der verwendeten Formeln]]''
 +
<!-- [[Liste der verwendeten Gesetze und Erlässe]], -->
 +
 
 +
== Weblinks ==
 +
<small> </small> <u> </u> <!--  -->
 +
 
 +
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert Mittelwert bei Wikipedia], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/mittelwert-38375 Mittelwert bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 4.2.2024;
 +
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html Mittelwert bei Grundlagen Statistik], abgefragt 4.2.2024;
 +
 
 +
<small>''siehe auch-> einzelne Kapitel''</small>
 +
 
 +
== Einzelnachweise==
 +
<references />
 +
 
 
[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]
 
[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]

Version vom 16. Februar 2024, 12:56 Uhr

Kurzinfo! 

Diese Seite stellt die für die Unternehmensbewertung wichtigen Aspekte des Themas dar, erhebt aber keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

siehe auch-> Modus, Median

Der Mittelwert (Mittel, Durchschnitt) ist ein statistischer Lageparameter, der die Mitte der Variablen nach verschiedenen Methoden berechnet. Der Mittelwert der Grundgesamtheit wird mit [math]\mu[/math] bezeichnet, bei der Stichprobe kommt [math]\overline{x}[/math] zur Anwendung.

Wenn der Begriff "Mittelwert" ohne nähere Bestimmung verwendet wird, ist damit üblicherweise das arithmetische Mittel gemeint.[1]

Der Mittelwert kann durch auch Gewichtung der Variablen bzw. die Verwendung von Erwartungswerten ermittelt werden.

Der Mittelwert ist eine gute Annäherung an die zentrale Tendenz einer unimodalen symmetrischen Verteilung, kann aber bei schiefen oder multimodalen[2] Verteilungen irreführend sein. Daher ist es hilfreich, bei schiefen Verteilungen zusätzlich andere Lagemaße zu bestimmen (so ist z.B. der Median bei schiefen Verteilungen oder bei Ausreißern deutlich robuster).[3] Im Box-Plot wird der Mittelwert manchmal als "+" in der Box dargestellt.

Zum Zusammenhang von Modus und (artihmetischen) Mittelwert bei symetrischen und schiefen Verteilungen vgl. Schiefe (Statistik).

Arten:

Die ersten drei Mittelwerte werden auch als klassische Mittelwerte bezeichnet, da sie schon in der Antike bekannt waren.[4]

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ergibt sich aus der Summe aller Werte geteilt durch die Zahl der Variablen.

Das arithmetische Mittel ist leicht zu rechnen und leicht verständlich, ist aber nicht immer die erste Wahl.[5] 

Wenn der Begriff "Mittelwert" ohne nähere Bestimmung verwendet wird, ist damit üblicherweise das arithmetische Mittel gemeint.

Berechnung[6]

[math]\bar{x}_{\mathrm{arithm}} = \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n}[/math]

Beispiel: Das arithmetische Mittel der beiden Zahlen 1 und 2 ist (1 + 2) / 2 = 1,5.

Excel Das arithmetische Mittel wird in Excel mit der Funktion MITTELWERT() berechnet.[7]

Literatur

  • Aschauer / Purtscher (2023), S. 31;
  • Falkenberg (1975), S. 136;
  • Hackl u.a. (1982), S. 15;

Weblinks

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel wird als n-te Wurzel aus dem Produkt aller n-Faktoren berechnet. Es schwerer verständlich als das aritmetische Mittel, dafür aber belastbarer.[8]

Berechnung[9]

[math]\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dotsm x_n}[/math]

Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert ≈ 1,41 der Quatratwurzel von 3.

Excel Das geometrische Mittel wird in Excell mit der Funktion GEOMITTEL() berechnet.[10]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 136;
  • Hackl u.a. (1982), S. 16;

Weblinks

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist definiert als der Kehrwert des Mittelwerts der Kehrwerte.[11]

Es schwerer verständlich als das aritmetische Mittel, dafür aber belastbarer.[12]

Berechnung[13]

[math]\bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dotsb + \frac{1}{x_n}}[/math]

Excel Das harmonische Mittel wird in Excell mit der Funktion HARMITTEL() berechnet.[14]

Literatur

  • Aschauer / Purtscher (2023), S. 312;
  • Falkenberg (1975), S. 135;

Weblinks

Gewichtung

Unter Gewichtung versteht man die Bewertung einzelner Einflussgrößen eines mathematischen Modells beispielsweise hinsichtlich ihrer Wichtigkeit oder Zuverlässigkeit. [15] Sie führt dazu, dass einige Elemente größeren Einfluss auf das Ergebnis haben.

Weblinks

Literatur

siehe auch-> einzelne Kapitel

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur, Liste englische Fachausdrücke, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

siehe auch-> einzelne Kapitel

Einzelnachweise

  1. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  2. ↑ D.h. mehrere Modi aufweisend.
  3. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  4. ↑ Wikipedia, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  5. ↑ Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 313.
  6. ↑ Aus Wikipedia, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  7. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  8. ↑ Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 227.
  9. ↑ Aus Wikipedia, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  10. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Geomittel, abgefragt 4.2.2024.
  11. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  12. ↑ Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 313.
  13. ↑ Aus Wikipedia, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  14. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Harmittel, abgefragt 4.2.2024.
  15. ↑ Wikipedia, Stichwort: Gewichtung, abgefragt 4.2.2024.
Abgerufen von „https://www.bewertungshilfe.at/index.php?title=Mittelwert&oldid=30440“