Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Statistik

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Begriff (lö)

• Weiterleitung:

 (zT) ok 

Statistik' ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten.

Die Statistik beschäftigt sich mit unter gleichen Rahmenbedingungen wiederholt beobachtbare Vorgänge (Massenphänomenen). Ihre Aussagen sind auf die Grundgesamtheit ev eigenes Kapitel *) gerichtet. Meist werden nicht alle Objekte und ihre Ausprägungen erhoben (Vollerhebung), sondern nur eine Stichprobeev eigenes Kapitel.

Wissenschaftliche Einordnung

Hlf Wi (lö)

 ok 

Die Statistik bildet gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie die Stochastik. Sie stellt aber auch einen eigenständiger Teilbereich der Mathematik (Mathematische Statistik) dar. Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, zB Ökonometrie.

Die Statistik wird manchmal unterteilt:

• beschreibende Statistik (deskriptive Statistik): In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll.

• beurteilende Statistik (schließende Statistik): In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik.

Stochastik

• Weiterleitung: Stochastik

 (zT) ok 

Stochastik ist der Oberbegriff für Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. WahrscheinlichkeitsrechnungLemma? und für Statistik . Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Weblinks

• Stochastik bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Stochastik bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Ökonometrie

• Weiterleitung: Ökonometrie

 ok 

Die Ökonometrie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die ökonomische Theorie sowie mathematische Methoden und statistische Daten zusammenführt, um wirtschaftstheoretische Modelle empirisch zu überprüfen und ökonomische Phänomene quantitativ zu analysieren.

Weblinks

• Ökonometrie bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Ökonometrie bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

nn

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Bedeutung

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

• Viele Variablen der Unternehmensbewertung beruhren auf statistishen Daten: Marktrisikoprämie, Beta-Faktoren
• Weiters Marktdaten und Volkswirtschaftliche Kennzahlen.

Wichtige Kenngrößen

 ok 

In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.

Arten:

• Lageparameter
• Streuungsparameter
• Gestaltparameter

Lageparameter

Hauptartikel-> Lageparameter

• Synonyme: Lagewert

 ok 

Lageparameter geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen.

Mitte der Datenmenge

Hauptartikel-> Mittelwert, Median, Modalwert

Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:

• Mittelwerte insbesondere arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel.
• Median
• Modalwert

Extremwerte

Hauptartikel-> Extremwert

siehe auch-> Spannweite

Extremwerte sind das Minimum und das Maximum.

Ausreißer

Hauptartikel-> Ausreißer

Ausreißer sind Werte, die sich von den anderen Werten der Stichprobe abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der linearen Regression) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.

Quantil

Hauptartikel-> Quantil

Ein Quantil ist ein Lagemaß, das in der Wahrscheinlichkeitsverteilung links die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] und rechts die Wahrscheinlichkeit [math]{1-p}[/math] angibt. Im Box-Plot ist das untere und obere Quartil als Endpunkte der Box ersichtlich.

Spezielle Quantile sind:

• Median p = 50%
• Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
• Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.

Darstellung (Box-Plot)

Box-Plot; ex Wikimedia, erst. RobSeb

Hauptartikel-> Box-Plot

• Synonyme: Kastengrafik, Schachteldiagramme

Box-Plots (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.

Streuungsparameter

Hauptartikel-> Streuungsparameter

• Synonyme: Streuungsmaß

ok

Die Streuungsparameter (Streuungsmaße) sind Meßzahlen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben.

Wichtige Streuungsparameter:

• Varianz,
• Standardabweichung,
• Variationskoeffizient,
• Interquartilsabstand und
• Spannweite.

Varianz

Hauptartikel-> Varianz

Die Varianz ([math]\sigma^2[/math]) ergibt sich aus der quadratischen Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.

Standardabweichung

Hauptartikel-> Standardabweichung

Die Standardabweichung [math]\sigma [/math] ist die Wurzel der Varianz.

Variationskoeffizient

Hauptartikel-> Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient [math]{VCo} [/math] ist das Verhältnis zwischen Standardabweichung und (arithmetischem) Mittelwert.

Interquartilsabstand

Hauptartikel-> Interquartilsabstand

siehe auch-> Box-Plot

Der Interquartilsabstand [math]{IQA} [/math] stellt den Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil dar. In seiner Mitte befindet sich der Median. Er enthält genau 50% der Datensätze.

Spannweite

Hauptartikel-> Spannweite

siehe auch-> Extremwert

Die Spannweite [math] R [/math] zeigt die Abweichung zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert.

Erwartungswert

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> Erwartungswert

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

Kruschwitz ua 58 Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider. Das ist typischerweise jene Realisation, die mit der größten Wahrscheinlichkeit l).Uftritt. Daher pflegt man man bei der Unternehmensbewertung davon auszugehen, dass die zukünftige Rendite ihrem Erwartungswert entspricht.

Wie aber lässt sich dieser Erwartungswert bestimmen? __ Solange wir nur eine Stiehpf;;-b~ aus alle;-R.~ili~ationen der VerteÜwg'fs. kennen, bleibt uns der Erwartungswert grundsätzlich unbekannt. Wir können ihn bestenfalls schätzen. Hier hilft nun die Annahme weiter, dass die Renditen des zu bewertenden Unternehmens stationär sind. Unter dieser Bedingung können wir nämlich das arithmetische Mittel der beobachteten Renditen verwenden und mit einiger Gewissheit darauf vertrauen, dass dieses arithmetische Mittel einen brauchbaren Anhaltspunkt für den Erwartungswert der Renditen darstellt.79

Erwartungswert Der Erwartungswert ist die Summe aller möglichen Umweltzustände multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeit. Er bezeichnet jenen Wert der bei einer großen Anzahl von Versuchen ergibt.[1] Erwartungswert bei Wikipedia, abgefragt am 12.6.2017, 'nicht mehr aktuell

https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert ist eine Kennzahl einer Zufallsvariablen. Bei einer engeren Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle Zahl und damit endlich; bei einer weiteren Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die Werte ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } zugelassen. Es gibt Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert definiert ist.

Hat eine Zufallsvariable einen endlichen Erwartungswert, so wird dieser häufig mit μ {\displaystyle \mu } abgekürzt; er beschreibt dann die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergieren.

Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der „wahre“ Mittelwert einer Zufallsvariablen (Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } immer gleich. Siehe auch: Lageparameter (deskriptive Statistik)

Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein.

Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von deren Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Gestaltparameter

Hlf (lö)

• Weiterleitung: Gestaltparameter

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

 erg 

eigene Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt: ev Verteilung

• Schiefe link
• Wölbung

Berechnung

Schiefe

• Weiterleitung: Schiefe (Statistik)

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

 (zT) ok 

https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik)

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/schiefe-45767

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_skewness.html

ex Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Modalwert

eigene

Linksschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Rechtsschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Schiefe ist in der Statistik die Bezeichnung für die Eigenschaft einer Verteilung Klammer lö oder verlinken (Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion), asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet rechtsschiefe (linkssteile, positive Schiefe) und linksschiefe (rechtssteile, negative Schiefe) Verteilungen (Diagramme). rechts (rechtssteil, linksschief) oder nach links (linkssteil, rechtsschief)

Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 3.2.2024.</ref>

• rechtsschief: [math]x_\text{mod} \lt x_\text{med} \lt \overline{x} [/math]
• symmetrisch: [math]x_\text{mod} = x_\text{med} = \overline{x}[/math]
• linksschief: [math]x_\text{mod} \gt x_\text{med} \gt \overline{x}[/math]

* rechtsschiefe (linkssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus < Median < arithmetisches Mittel

• linksschiefe (rechtssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus > Median > arithmetisches Mittel
• unimodale symmetrische Häufigkeitsverteilung: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel

Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen. (Für einen Test dieser Eigenschaft siehe z. B. den Kolmogorow-Smirnow-Test.)

Berechnung

Weblinks

• Schiefe (Statistik) bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Schiefe bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Schiefe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Wölbung

• Weiterleitung: Wölbung (Statistik)

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%B6lbung_(Statistik) Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung.[1] Die Wölbung ist das standardisierte (zentrale) Moment 4. Ordnung. Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an.[1]

ev Dateien: Steilgipflig und Flachgipflig hochladen

Exzess

Um das Ausmaß der Wölbung besser einschätzen zu können, wird sie mit der Wölbung einer Normalverteilung verglichen, für die β 2 = 3 \beta_2=3 gilt. Der Exzess (auch: Überschusswölbung oder Überkurtosis) ist daher definiert als

   γ = Exzess = β 2 − 3 {\displaystyle \gamma =\operatorname {Exzess} =\beta _{2}-3}

Mittels der Kumulanten ergibt sich

   γ = κ 4 Var ⁡ ( X ) 2 \gamma ={\frac {\kappa _{4}}{\operatorname {Var}(X)^{2}}}

Nicht selten wird die Wölbung fälschlicherweise als Exzess bezeichnet.

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Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

mm

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

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eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

(Wahrscheinlichkeits)Verteilung

Hlf Vert (lö)

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung Verteilung steht für:

• Verteilung einer Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Wahrscheinlichkeitsverteilung, siehe Wahrscheinlichkeitsmaß

https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung_einer_Zufallsvariablen Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Verteilung einer Zufallsvariablen ermöglicht es, aus einem „zu großen“ stochastischen Modell Informationen zu extrahieren und diesen wieder sinnvolle Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Ein Beispiel hierfür ist eine Lotto-Ziehung: Bei der Modellierung werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Zahlenkombination definiert. Man ist jedoch im Allgemeinen nicht an der Wahrscheinlichkeit interessiert, exakt eine bestimmte Zahlenfolge zu ziehen, sondern daran, wie groß die Wahrscheinlichkeit für „n Richtige“ ist. Man definiert dazu eine Zufallsvariable, welche die Informationen „Anzahl der Richtigen“ extrahiert. Die Verteilung dieser Zufallsvariablen gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass man „n Richtige“ gezogen hat.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß Ein Wahrscheinlichkeitsmaß dient dazu, den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu quantifizieren und Ereignissen, die durch Mengen modelliert werden, eine Zahl im Intervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} zuzuordnen. Diese Zahl repräsentiert dann die Wahrscheinlichkeit, mit der das durch die Menge beschriebene eintritt. Man verwendet typischerweise die Notation P ( B ) = c {\displaystyle \mathbb {P} (B)=c}, um dem Ereignis B {\displaystyle B} die Wahrscheinlichkeit c ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle c\in [0,1]} zuzuordnen.

Eine einfaches Beispiel ist das Werfen eines fairen Würfels X {\displaystyle X}: Dem Ereignis X = 2 {\displaystyle X=2}, dass die Augenzahl 2 geworfen wird, wird die Wahrscheinlichkeit P ( X = 2 ) = 1 6 {\displaystyle \mathbb {P} (X=2)={\tfrac {1}{6}}} zugeordnet.

Das Bildmaß eines Wahrscheinlichkeitsmaßes unter einer Zufallsvariable nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufallsverteilung, Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsgesetz.

Im Rahmen der Maßtheorie entsprechen die Wahrscheinlichkeitsmaße speziellen endlichen Maßen, die sich durch ihre Normiertheit auszeichnen.

Arten:

• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Mischformen

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/verteilung-47286 Statistik

Bezeichnung für eine empirische Häufigkeitsverteilung oder für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, die etwa durch eine Verteilungsfunktion, eine Dichtefunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben wird.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_intro.html Entnimmt man nacheinander Stichproben aus demselben zufälligen Prozess, erhält man leicht voneinander abweichende Ergebnisse. Der Mittelwert dieser Ergebnisse und deren Verteilung sind normalerweise ein guter Indikator für den beprobten Prozess. Ein kurzes Beispiel soll dies verständlich machen:

Nehmen Sie an, ein Physiker bäckt einen Rosinenkuchen und gibt 75 Rosinen in den Teig. Nach Rühren des Teigs und Backen des Kuchens schneidet er genau ein Drittel des Kuchens ab. Weil dieser Physiker Langeweile hat, zerbröselt er das Stück und zählt die Rosinen darin - nur 19 der zu erwartenden 25 Rosinen werden gefunden. Nun stellt sich die Frage, die den Physiker letztlich davon abhält, den Kuchen zu essen: Wie stehen die Chancen, ein Stück dieser Größe mit weniger als 20 Rosinen zu bekommen?

Bevor Sie in ein statistisches Lehrbuch schauen, möchten Sie vielleicht selbst ein Experiment durchführen. Klicken Sie auf das interaktive Beispiel, um das Experiment zu starten!

Sie sehen, dass die eigentliche Anzahl an Rosinen in einem Drittel des Kuchens um 25 schwankt. Das Histogramm der Häufigkeit des Vorkommens der verschiedenen Anzahlen von Rosinen könnte wie folgt aussehen:

Wenn Sie den Prozess des Kuchenbackens oft genug wiederholen und Sie die Balken des Histogramms schmal genug auftragen, werden Sie schließlich eine glatte Verteilung erhalten:

Als Nächstes möchte unser Physiker wissen, wie die Chancen stehen, mehr als 30 Rosinen in dem Kuchenstück zu finden. Eine Eigenschaft von Verteilungsdiagrammen ist, dass die relative Fläche zwischen zwei Werten auf der x-Achse die Chance, dass das korrespondierende Ereignis eintritt, wiedergibt. In unserem Beispiel kann der Physiker eine vertikale Linie bei 30 Rosinen ziehen. Die relative Fläche oberhalb dieser Markierung gibt die Chance, mehr als 30 Rosinen im Kuchenstück zu finden, an (was anhand der Verteilungskurve ungefähr 10 % ist).

Manchmal ist es schwer, die relative Fläche zu bestimmen. Dann sollte man die Verteilungskurve so skalieren, dass sie eine Fläche von exakt 1.0 hat. Die Fläche unterhalb der Kurve stellt die Chance, dass ein Ereignis in diesen Bereich fallen kann, dar. Diese Kurve wird Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (engl. probability density function, pdf) genannt:

Hinweis: Verwechseln Sie bitte das Skalieren der Fläche nicht mit dem Skalieren der y-Achse. Eine Verteilungskurve, die auf eine Fläche von 1.0 skaliert ist, hat nicht ein Maximum von 1.0; sehen Sie sich dazu auch das folgende interaktive Beispiel zur Erklärung an.

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Diskrete Verteilungen

• Weiterleitung: Diskrete Verteilung

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

Diskrete Verteilungen

→ Hauptartikel: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer diskreten Verteilung

Als diskrete Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf endlichen oder abzählbar unendlichen Grundräumen bezeichnet. Diese Grundräume werden fast immer mit der Potenzmenge als Mengensystem versehen, die Wahrscheinlichkeiten werden dann meist über Wahrscheinlichkeitsfunktionen definiert. Diskrete Verteilungen auf den natürlichen oder ganzen Zahlen können in den Messraum ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} eingebettet werden und besitzen dann auch eine Verteilungsfunktion. Diese zeichnet sich durch ihre Sprungstellen aus.

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung Eine diskrete (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung bzw. ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein spezielles Wahrscheinlichkeitsmaß in der Stochastik. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen leicht zu handhaben, da sie nur auf mathematisch „kleinen“ Mengen definiert sind. Dies verhindert einerseits das Auftreten von Paradoxien, wie sie der Satz von Vitali zeigt, und die damit verbundene Verwendung von komplexeren Mengensystemen wie der Borelschen σ-Algebra, andererseits kann dadurch auch auf die Verwendung von Integralen zugunsten der Verwendung von (endlichen oder unendlichen) Summen verzichtet werden.

Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem Ereignis „Die Münze zeigt Kopf“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis „Die Münze zeigt Zahl“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf.

Dieser Artikel behandelt Eigenschaften von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche für ebendiese charakteristisch sind. Für die allgemeinen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die auch für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelten, siehe den Hauptartikel zu den Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Definition

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn einer der folgenden drei Fälle gilt:

   Sie ist auf einer endlichen Menge definiert (meist { 0 , 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n\}}).
   Sie ist auf einer abzählbar unendlichen Menge definiert (meist die natürlichen Zahlen N {\displaystyle \mathbb {N} }).
   Sie ist auf einer beliebigen Menge definiert, nimmt aber nur auf höchstens abzählbar vielen Elementen dieser Menge einen positiven Wert an. Das bedeutet, es existiert eine höchstens abzählbare Menge M {\displaystyle M} mit P ( M ) = 1 {\displaystyle P(M)=1} (meist die natürlichen Zahlen, eingebettet in die reellen Zahlen).

Zufallsvariablen, deren Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als diskrete Zufallsvariablen bezeichnet.[1]

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/diskretes-merkmal-30369 in der Statistik Bezeichnung für ein quantitatives (metrisches) Merkmal mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen möglichen Ausprägungen. Bei überabzählbar vielen möglichen Ausprägungen spricht man von einem stetigen Merkmal.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_uniform_discrete.html Diskrete Verteilungen

• Bernoulliverteilung
• Diskrete Uniforme Verteilung
• Binomialverteilung
• Hypergeometrische Verteilung
• Poissonverteilung

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Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Stetige Verteilungen

• Weiterleitung: Stetige Verteilung

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

Stetige Verteilungen

→ Hauptartikel: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung

Verteilungen auf den reellen Zahlen, versehen mit der borelschen σ-Algebra werden als stetige Verteilung bezeichnet, wenn sie stetige Verteilungsfunktionen besitzen. Die stetigen Verteilungen lassen sich noch in absolutstetige und stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterteilen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung Die stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen, auch diffuse oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,[1] sind in der Stochastik eine große Klasse von häufig auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den absolutstetigen Verteilungen, aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden.

Definition

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P P auf den reellen Zahlen R \mathbb {R} , versehen mit der Borelschen σ-Algebra B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}.

Dann heißt P P eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die Verteilungsfunktion F P {\displaystyle F_{P}} von P P stetig ist.

Äquivalent dazu ist, dass P P atomlos ist. Das bedeutet, es existiert kein x ∈ R x\in \mathbb {R} , so dass P ( { x } ) > 0 {\displaystyle P(\{x\})>0} ist.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stetiges-merkmal-45782 in der Statistik Bezeichnung für ein Merkmal, bei dem mehr als abzählbar unendlich viele mögliche Ausprägungen vorkommen können oder zumindest denkbar sind.

Beispiele: Länge, Gewicht, Zeitdauer.

Wegen der in der Praxis immer beschränkten Messgenauigkeit bleibt ein stetiges Merkmal theoretische Modellvorstellung.

Gegensatz: diskretes Merkmal.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/wrapnt536530_kontinuierliche_verteilungen.html

Kontinuierliche Verteilungen

• Kontinuierliche Uniforme Verteilung
• Normalverteilung
• Lognormal-Verteilung
• Cauchy-Verteilung
• Exponentialverteilung
• Weibullverteilung
• Pareto-Verteilung

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Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

mm

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

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Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Statistische Fehler

Hlf StatFehl

• Weiterleitung:

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fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Fehler_1._und_2._Art Die Fehler 1. und 2. Art, auch α-Fehler (Alpha-Fehler) und β-Fehler (Beta-Fehler) genannt, bezeichnen eine statistische Fehlentscheidung bei statistischen Tests. Sie beziehen sich auf eine Methode der mathematischen Statistik, den sogenannten Hypothesentest. Beim Test einer Hypothese liegt ein Fehler 1. Art vor, wenn die Nullhypothese zurückgewiesen wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist (beruhend auf einer zufällig erhöhten bzw. niedrigeren Anzahl positiver Ergebnisse). Dagegen bedeutet ein Fehler 2. Art, dass der Test die Nullhypothese fälschlicherweise nicht zurückweist, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist. Die Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art (auch α- und β-Risiko genannt) werden in Qualitätsmanagement und -kontrolle häufig Produzentenrisiko und Konsumentenrisiko genannt (siehe Prüflos). In der statistischen Prozesslenkung durch Qualitätsregelkarten verwendet man dafür die Begriffe blinder Alarm und unterlassener Alarm. Fehler 1. und 2. Art werden auch als frequentistische Konzepte bezeichnet.[1] Das Konzept des Fehlers 1. und 2. Art wurde von Neyman und Pearson eingeführt.[2]

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistische-testverfahren-41922 4. Gedankenfolge bei der Durchführung von Testverfahren, dargestellt für punktuelle Parameterhypothesen: Es wird zunächst eine kleine (z.B. 0,05) Wahrscheinlichkeit α dafür festgelegt, dass Ho fälschlich abgelehnt wird (Signifikanzniveau, Alpha-Fehler). Die Menge aller möglichen Stichprobenresultate wird in zwei Teilmengen derart zerlegt, dass der einen Teilmenge, der kritischen Region, bei Gültigkeit von Ho eine Wahrscheinlichkeit von höchstens α zukommt. Die Zerlegung erfolgt auf der Grundlage einer Prüfvariablen, z.B. dem Stichprobendurchschnitt bei der Prüfung eines Erwartungswertes. Liefert die Stichprobe einen Befund aus der kritischen Region, wird Ho beim Signifikanzniveau α abgelehnt, sonst beibehalten. Neben dem Risiko eines Alpha-Fehlers besteht auch das Risiko eines Beta-Fehlers, also der fälschlichen Beibehaltung von Ho.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/alpha-fehler-27459 Alpha-Fehler Fehler erster Art; möglicher Entscheidungsfehler bei statistischen Testverfahren. Ein Alpha-Fehler liegt vor, wenn eine Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Die supremale Wahrscheinlichkeit für einen Alpha-Fehler ist stets kleiner oder gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau α.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/beta-fehler-31627 Beta-Fehler Fehler zweiter Art; möglicher Entscheidungsfehler bei statistischen Testverfahren. Ein beta-Fehler liegt vor, wenn eine Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit eines beta-Fehlers hängt u.a. vom wahren Wert des zu prüfenden Parameters ab. Die supremale Wahrscheinlichkeit für einen beta-Fehler heißt Schärfe oder Power des entsprechenden Tests (s. Gütefunktion).

https://de.wikipedia.org/wiki/Statistischer_Test = Hypothesentest Ein statistischer Test dient in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen. Aus diesem Grund spricht man auch von einem Hypothesentest. Formal ist ein Test also eine mathematische Funktion, die einem Beobachtungsergebnis eine Entscheidung zuordnet. Da die vorhandenen Daten Realisierungen von Zufallsvariablen sind, lässt sich in den meisten Fällen nicht mit Sicherheit sagen, ob eine Hypothese wahr ist oder nicht. Man versucht daher, die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu kontrollieren. Meistens wird ein Hypothesentest in der Form eines Signifikanztests durchgeführt, der ein Test zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau ist.

Mögliche Fehlentscheidungen

Auch wenn es wünschenswert ist, dass der Test aufgrund der vorliegenden Daten „richtig“ entscheidet, besteht die Möglichkeit von Fehlentscheidungen. Im mathematischen Modell bedeutet dies, dass man bei richtiger Nullhypothese und Entscheidung für die Alternative einen Fehler 1. Art (α-Fehler) begangen hat. Falls man die Nullhypothese bestätigt sieht, obwohl sie nicht stimmt, begeht man einen Fehler 2. Art (β-Fehler).

In der statistischen Praxis macht man aus diesem vordergründig symmetrischen Problem ein asymmetrisches: Man legt also ein Signifikanzniveau α fest, das eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art liefert. Tests mit dieser Eigenschaft heißen Test zum Niveau α {\displaystyle \alpha }. Im Anschluss daran versucht man, einen optimalen Test zum vorgegebenen Niveau dadurch zu erhalten, dass man unter allen Tests zum Niveau α einen sucht, der die geringste Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art aufweist.

eigene

Berechnung

NN

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Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Fehler 1. Art (Alpha-Fehler)

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NN

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Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

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Fehler 2. Art (Beta-Fehler)

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Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

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• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

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Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

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Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

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NN

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Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Literatur

Fachliteratur

" *)mwN ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben

* Aschauer / Purtscher (2023), S. ;

• Bachl (2018), S. ;
• Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
• Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
• Ihlau / Duscha (2019), S. ;
• Mandl / Rabel (1997), S. ;
• WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
• WPH-Edition (2018), Rz. A ;

• Kruschwitz ua (2009), S. 56 ff;

Zu Lit Kruschwitz ua (2009): Kruschwitz ua, "Unternehmensbewertung für die Praxis", Schäffer-Poeschel 2009;

Unterlage(n)

Sortiert nach Dateiname

* Hager: Auffrischung mathematischer Grundkenntnisse, Basisseminar BFA, Datei:Mathematik-Auffrischung.pdf, Stand August 2023;

Folien

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur ev, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Statistik https://de.wiktionary.org/wiki/Statistik https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistik-45267

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Einzelnachweise

[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]