Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Statistik

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Begriff (lö)

 ok 

Statistik' ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten.

Die Statistik beschäftigt sich mit unter gleichen Rahmenbedingungen wiederholt beobachtbare Vorgänge (Massenphänomenen). Ihre Aussagen sind auf die Grundgesamtheit gerichtet. Meist werden nicht alle Objekte und ihre Ausprägungen erhoben (Vollerhebung), sondern nur eine Stichprobe.

Wissenschaftliche Einordnung

Hlf Wi (lö)

 ok 

Die Statistik bildet gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie die Stochastik. Sie stellt aber auch einen eigenständiger Teilbereich der Mathematik (Mathematische Statistik) dar. Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, zB Ökonometrie.

Die Statistik wird manchmal unterteilt:

• beschreibende Statistik (deskriptive Statistik): In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll.

• beurteilende Statistik (schließende Statistik): In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik.

Stochastik

• Weiterleitung: Stochastik

 ok 

Stochastik ist der Oberbegriff für Wahrscheinlichkeitstheorie und für Statistik . Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Weblinks

• Stochastik bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Stochastik bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Ökonometrie

• Weiterleitung: Ökonometrie

 ok 

Die Ökonometrie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die ökonomische Theorie sowie mathematische Methoden und statistische Daten zusammenführt, um wirtschaftstheoretische Modelle empirisch zu überprüfen und ökonomische Phänomene quantitativ zu analysieren.

Weblinks

• Ökonometrie bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Ökonometrie bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Wahrscheinlichkeitstheorie

• Weiterleitung: Wahrscheinlichkeitstheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung

 ok 

Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Analyse von zufälligen Phänomenen Wahrscheinlichkeit beschäftigt.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie nützt das Wissen über alle möglichen Ergebnisse eines Experiments, auch Grundgesamtheit genannt, um auf die Wahrscheinlichkeit besonderer Ergebnisse zu schließen. Die Statistik versucht den umgekehrten Weg zu gehen, indem sie eine endliche Zahl an Beobachtungen verwendet, um einen Schluss über die ganze Grundgesamtheit zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft diese Schlüsse zu überprüfen und stellt Richtlinien für den Experimentaufbau zu einer bestimmten Frage auf.

Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind:

• zufällige Ereignisse,
• Zufallsvariablen und
• stochastische Prozesse.

Weblinks

• Wahrscheinlichkeitstheorie bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Wahrscheinlichkeitstheorie bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Kombinatorik

• Weiterleitung: Kombinatorik

 ok 

Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Kombinatorik werden Anzahlberechnungen von möglichen Kombinationen durchgeführt. Ein Hilfsmittel ist das Urnenmodell.

Weblinks

• Kombinatorik bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Kombinatorik bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

Bedeutung

 ok 

• Viele Variablen der Unternehmensbewertung beruhren auf statistishen Daten: Marktrisikoprämie, Beta-Faktoren
• Weiters Marktdaten und Volkswirtschaftliche Kennzahlen.

Wichtige Kenngrößen

 ok 

In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.

Arten:

• Lageparameter
• Streuungsparameter
• Gestaltparameter

Lageparameter

Hauptartikel-> Lageparameter

• Synonyme: Lagewert

 ok 

Lageparameter geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen.

Mitte der Datenmenge

Hauptartikel-> Mittelwert, Median, Modalwert

Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:

• Mittelwerte insbesondere arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel.
• Median
• Modalwert

Extremwerte

Hauptartikel-> Extremwert

siehe auch-> Spannweite

Extremwerte sind das Minimum und das Maximum.

Ausreißer

Hauptartikel-> Ausreißer

Ausreißer sind Werte, die sich von den anderen Werten der Stichprobe abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der linearen Regression) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.

Quantil

Hauptartikel-> Quantil

Ein Quantil ist ein Lagemaß, das in der Wahrscheinlichkeitsverteilung links die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] und rechts die Wahrscheinlichkeit [math]{1-p}[/math] angibt. Im Box-Plot ist das untere und obere Quartil als Endpunkte der Box ersichtlich.

Spezielle Quantile sind:

• Median p = 50%
• Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
• Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.

Darstellung (Box-Plot)

Box-Plot; ex Wikimedia, erst. RobSeb

Hauptartikel-> Box-Plot

• Synonyme: Kastengrafik, Schachteldiagramme

Box-Plots (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.

Streuungsparameter

Hauptartikel-> Streuungsparameter

• Synonyme: Streuungsmaß

ok

Die Streuungsparameter (Streuungsmaße) sind Meßzahlen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben.

Wichtige Streuungsparameter:

• Varianz,
• Standardabweichung,
• Variationskoeffizient,
• Interquartilsabstand und
• Spannweite.

Varianz

Hauptartikel-> Varianz

Die Varianz ([math]\sigma^2[/math]) ergibt sich aus der quadratischen Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.

Standardabweichung

Hauptartikel-> Standardabweichung

Die Standardabweichung [math]\sigma [/math] ist die Wurzel der Varianz.

Variationskoeffizient

Hauptartikel-> Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient [math]{VCo} [/math] ist das Verhältnis zwischen Standardabweichung und (arithmetischem) Mittelwert.

Interquartilsabstand

Hauptartikel-> Interquartilsabstand

siehe auch-> Box-Plot

Der Interquartilsabstand [math]{IQA} [/math] stellt den Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil dar. In seiner Mitte befindet sich der Median. Er enthält genau 50% der Datensätze.

Spannweite

Hauptartikel-> Spannweite

siehe auch-> Extremwert

Die Spannweite [math] R [/math] zeigt die Abweichung zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert.

Erwartungswert

Hauptartikel-> Erwartungswert

 ok 

Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider. Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt.

Gestaltparameter

Hlf (lö)

• Weiterleitung: Gestaltparameter

  ok 

Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt:

• Schiefe und
• Wölbung.

Schiefe

• Weiterleitung: Schiefe (Statistik)

 ok 

Linksschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Rechtsschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Schiefe ist in der Statistik die Bezeichnung für die Eigenschaft einer Verteilung asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet rechtsschiefe (linkssteile, positive Schiefe) und linksschiefe (rechtssteile, negative Schiefe) Verteilungen (Diagramme). rechts (rechtssteil, linksschief) oder nach links (linkssteil, rechtsschief)

Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 3.2.2024.</ref>

• rechtsschief: [math]x_\text{mod} \lt x_\text{med} \lt \overline{x} [/math]
• symmetrisch: [math]x_\text{mod} = x_\text{med} = \overline{x}[/math]
• linksschief: [math]x_\text{mod} \gt x_\text{med} \gt \overline{x}[/math]

Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen.

Weblinks

• Schiefe (Statistik) bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Schiefe bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Schiefe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Wölbung

• Weiterleitung: Wölbung (Statistik)

 ok 

Steilgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Flachgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Wölbung (Kurtosis) ist eine Maßzahl für die Steilheit / flachheit einer unimodalen (eingipfligen) Verteilung. Die Differenz der Wölbung der betrachteten Verteilung zur Normalverteilung wird als Exzess bezeichnet.

Weblinks

• Wölbung (Statistik) bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Kurtosis bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Grundgesamtheit / Stichprobe

Zwei wichtige Begriffe sind

• die Grundgesamtheit und
• die Stichprobe.

Grundgesamtheit

• Weiterleitung: Grundgesamtheit

 ok 

Eine Grundgesamtheit ist die Menge aller möglichen Objekte über die man eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann begrenzt oder unbegrenzt sein. Die Grundgesamtheit, die die Grundlage einer statistischen Untersuchung bildet, muss immer exakt definiert sein. Nur so ist es möglich, vergleichbare Ergebnisse zu bekommen. Am besten man definiert neben den sachlichen Bedingungen ("was soll untersucht werden") auch noch die örtlichen und zeitlichen Rahmenbedingungen.

Die Grundgesamtheit kann erhoben werden:

• Vollerhebung oder
• Stichprobe.

Weblinks

• Grundgesamtheit bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Grundgesamtheit bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Grundgesamtheit und Stichprobe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

Stichprobe

• Weiterleitung: Stichprobe

 ok 

Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit; ihre Größe ist immer begrenzt.

Die Formeln der Grundgesamtheit gelten nicht für die Stichprobe.

Eine Stichprobe muss nicht notwendigerweise für eine Grundgesamtheit repräsentativ sein. Eine repräsentative Stichprobe zeigt dieselben Eigenschaften wie die Population.

Auswahl der Stichprobe:

• Zufallsstichprobe
• systematische Auswahl
• willkürliche Auswahl

Bei einer Zufallsauswahl hat jedes Element der Grundgesamtheit eine angebbare (meist die gleiche) Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen (Einschlusswahrscheinlichkeit). Eine Zufallsstichprobe ist notwendig, wenn die Stichprobe repräsentativ sein soll. Aus einer repräsentativen Stichprobe kann eine Hochrechnung, dh eine geschätzte Extrapolation eines Gesamtergebnisses aus einem Teilergebnis, vorgenommen werden.

Bei einer systematischen Stichprobenziehung werden bereits bekannte Informationen über die auszuwählenden Fälle genutzt, zB wenn die Kundenwünsche erhoben werden sollen, kann man sich auf die Zielgruppe beschränken.

Bei willkürlichen Stichproben werden Elemente aus der Grundgesamtheit (etwa von einem Interviewer) mehr oder weniger willkürlich in die Stichprobe aufgenommen, oft gemäß Praktikabilität. Die Auswahl liegt im Ermessen der Forschers. Stichproben mit willkürlichem Auswahlprinzip werden oft gewählt, da sie mit dem geringsten Aufwand und den geringsten Kosten verbunden sind, weisen aber oft große Verzerrungen auf.

Weblinks

• Stichprobe bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Stichprobe bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;
• Grundgesamtheit und Stichprobe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;
• Stichprobe bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;

(Wahrscheinlichkeits)Verteilung

Hlf Vert (lö)

• Weiterleitung: Verteilung ev Wahrscheinlichkeitsverteilung

siehe auch-> diskrete Zufallsvariable, stetige Zufallsvariable

 (zT) ok 

Verteilung bezeichnet eine empirische Häufigkeitsverteilung oder die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, die etwa durch eine Verteilungsfunktion, eine Dichtefunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben wird.

Arten:

• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen und
• Mischformen

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 296 ff;
• Hackl ua (1982), S. 76 f;

Weblinks

• Häufigkeitsverteilung bei Wikipedia, abgefragt 24.7.2024;
• Verteilung bei Wikipedia, abgefragt 24.7.2024;
• Verteilung bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 24.7.2024;
• Wahrscheinlichkeitsmaß bei Wikipedia, abgefragt 24.7.2024;

Diskrete Verteilungen

• Weiterleitung: Diskrete Verteilung

siehe auch-> diskrete Zufallsvariable

 (zT) ok 

Als diskrete Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf endlichen oder abzählbar unendlichen Grundräumen bezeichnet.

Zufallsvariablen, deren Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als diskrete Zufallsvariablen bezeichnet.

Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind:

• Bernoulliverteilung nicht bei Hackl ja/nein

• Binomialverteilung
• Poisson-Verteilung
• Hypergeometrische Verteilung
• Multinomialverteilung

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 92 ff;

Weblinks

• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Wikipedia, abgefragt 24.7.2024;
• bei Wikipedia, abgefragt 24.7.2024;
• Diskrete Verteilungen Diskrete Verteilungen bei Grundlagen Statistik, abgefragt 24.7.2024;

Stetige Verteilungen

• Weiterleitung: Stetige Verteilung

siehe auch-> stetige Zufallsvariable

 (zT) ok 

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/wrapnt536530_kontinuierliche_verteilungen.html

Hlf

eigene Als stetige Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf unendliche Grundräumen bezeichnet. *)

Zufallsvariablen, deren Verteilung eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als stetige Zufallsvariablen bezeichnet.

Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind:

• Stetige Gleichverteilung
• Exponentialverteilung
• Normalverteilung

Literatur

• Hackl ua (1982), S. 98 ff;

Weblinks

• Kontinuierliche Verteilungen bei Grundlagen Statistik, abgefragt 3.2.2024;
• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Wikipedia, abgefragt 24.7.2024;
• Wahrscheinlichkeitsmaß bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;

Statistische Fehler

• Weiterleitung: Alpha-Fehler, Beta-Fehler, Entscheidungsfehler,

 (zT) ok 

Eine Hypothese beizeichnet in der Statistik eine Annahme, die mit Methoden der mathematischen Statistik auf Basis empirischer Daten geprüft wird. Dabei können zwei Entscheidungsfehler unterlaufen:

• Fehler 1. Art (Alpha-Fehler): die Hypothese wird abgelehnt, obwohl sie stimm.
• Fehler 2. Art (Beta-Fehler): die Hypothese wird angenommen, obwohl sie nicht stimmt.

Berechnung

Literatur

Weblinks

• Fehler 1. und 2. Art bei Wikipedia, abgefragt 3.2.2024;
• Statistische Testverfahren bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

• Alpha-Fehler bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

• Beta-Fehler bei Gablers Wirtschaftslexikon, abgefragt 3.2.2024;

NN

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

mm

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

NN

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

• Falkenberg (1975), S. 17;
• Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Literatur

Fachliteratur

" *)mwN ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben

* Aschauer / Purtscher (2023), S. ;

• Bachl (2018), S. ;
• Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
• Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
• Ihlau / Duscha (2019), S. ;
• Mandl / Rabel (1997), S. ;
• WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
• WPH-Edition (2018), Rz. A ;

• Kruschwitz ua (2009), S. 56 ff;

Zu Lit Kruschwitz ua (2009): Kruschwitz ua, "Unternehmensbewertung für die Praxis", Schäffer-Poeschel 2009;

Unterlage(n)

Sortiert nach Dateiname

* Hager: Auffrischung mathematischer Grundkenntnisse, Basisseminar BFA, Datei:Mathematik-Auffrischung.pdf, Stand August 2023;

Folien

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur ev, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Statistik https://de.wiktionary.org/wiki/Statistik https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistik-45267

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Einzelnachweise

[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]