Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Korrelation

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Begriff (lö)

 (zT) ok 

Eine Korrelation bezeihnet in der Statistik Bezeichnung einen Zusammenhang zweier quantitativer Merkmale bzw. Zufallsvariablen.

Im Gegensatz zur Proportionalität ist die Korrelation nur ein [statistischer Zusammenhang.

Korrelationen

• liegen zwischen Null (=kein Zusammenhang) bis Eins (=starker Zusammenhang);
• sind größer Null, wenn eine positive Korrelation (wenn mehr, dann mehr) vorliegt.

zB: Mehr Kühe, mehr Milch

• sind kleiner Null, wenn eine negative Korrelation (wenn mehr, dann weniger) vorliegt.

zB: je weiter man fährt umso weniger Treibstoff ist im Tank. besseres Beispiel suchen.

siehe auch-> Kovarianz, Zusammenhangsmaß

Bedeutung

siehe auch-> Portfoliotheorie, Capital Asset Pricing Model beide ev lö

 (zT) ok 

Die Korrelation ist von erheblicher Bedeutung bei Kapitalanlagen (Finanzanlagen). Es gilt: Das Gesamtrisiko des gesamten Portfolios ist umso geringer, je geringer die einzelnen Anlagen (Assets) miteinander korrelieren.

Beispielsweise korrelieren die Risiken von Aktien und Anleihen weniger miteinander als Aktien untereinander, weshalb eine Mischung in einem Portfolio von Vorteil ist.

Reduktion der Korrelation des Gesamtportfolios im Verhältnis zu seinen Einzelanlagen verbessert nach der Portfoliotheorie (Harry Markowitz, 1952) das Rendite-Risiko-Verhältnis. Auf langfristiger Basis wird damit prinzipiell eine höhere Rendite bei geringerem Risiko erzielt.

Die Korrelation des Risikos einer einzelnen Aktie zum Portfolio findet ausdruck im Beta-Faktors des Capital Asset Pricing Models (CAPM).

Ermittlung / Berechnung

einen löschen

fe 

eigene

Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Korrelationskoeffizient

Hlf

• Weiterleitung: Korrelationskoeffizient

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

fe 

https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelationskoeffizient_nach_Bravais-Pearson Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson, auch Produkt-Moment-Korrelation,[1] ist ein Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei mindestens intervallskalierten Merkmalen, das nicht von den Maßeinheiten der Messung abhängt und somit dimensionslos ist. Er kann Werte zwischen − 1 {\displaystyle -1} und + 1 {\displaystyle +1} annehmen. Bei einem Wert von + 1 {\displaystyle +1} (bzw. − 1 {\displaystyle -1}) besteht ein vollständig positiver (bzw. negativer) linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen. Wenn der Korrelationskoeffizient den Wert 0 aufweist, hängen die beiden Merkmale überhaupt nicht linear voneinander ab. Allerdings können diese ungeachtet dessen in nichtlinearer Weise voneinander abhängen. Damit ist der Korrelationskoeffizient kein geeignetes Maß für die (reine) stochastische Abhängigkeit von Merkmalen. Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten stellt das Bestimmtheitsmaß dar. Der Korrelationskoeffizient wurde erstmals vom britischen Naturforscher Sir Francis Galton (1822–1911) in den 1870er Jahren verwendet. Karl Pearson lieferte schließlich eine formal-mathematische Begründung für den Korrelationskoeffizienten.[2] Da er von Auguste Bravais und Pearson populär gemacht wurde, wird der Korrelationskoeffizient auch Pearson-Korrelation oder Bravais-Pearson-Korrelation genannt.

Je nachdem, ob der lineare Zusammenhang zwischen zeitgleichen Messwerten zweier verschiedener Merkmale oder derjenige zwischen zeitlich verschiedenen Messwerten eines einzigen Merkmals betrachtet wird, spricht man entweder von der Kreuzkorrelation oder von der Kreuzautokorrelation (siehe auch Zeitreihenanalyse).

Korrelationskoeffizienten wurden mehrfach – so schon von Ferdinand Tönnies – entwickelt, heute wird allgemein jener von Pearson verwendet.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelation-40362 Messung der Korrelation zweier Merkmale aus vorliegenden Wertepaaren durch Korrelationskoeffizienten. Bei quantitativen Merkmalen und der Verwendung des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten ist zu beachten, dass nur der Grad des linearen Zusammenhang beider Merkmale gemessen werden kann. Bei qualitativen Variablen wird statt von Korrelation von Assoziation bzw. Kontingenz gesprochen.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelationskoeffizient-39501

Ausführliche Definition im Online-Lexikon

Korrelationsmaß; Maß, mit dem in der Korrelationsanalyse die „Stärke” eines positiven oder negativen Zusammenhangs (Korrelation) zwischen zwei quantitativen Merkmalen bzw. Zufallsvariablen gemessen werden kann. Zu beachten ist, dass der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient nur den Grad des linearen Zusammenhangs misst. Ein aus einer Zufallsstichprobe berechneter Korrelationskoeffizient stellt jeweils eine Punktschätzung für den entsprechenden Koeffizienten in der Grundgesamtheit dar.

1. Bravais-Pearsonscher linearer Korrelationskoeffizient: Sind (xi,yi), i = 1, ... ,n , die n beobachteten Wertepaare des bivariaten Merkmals (X,Y), so ist der Bravais-Pearsonsche Korrelationskoeffizient durch

MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+cjwvbWk+Cjxtcm93Pgo8bWk+eDwvbWk+CjxtaT55PC9taT4KPC9tcm93Pgo8L21zdWI+Cjxtbz49PC9tbz4KPG1mcmFjPgo8bXN1Yj4KPG1pPnM8L21pPgo8bXJvdz4KPG1pPng8L21pPgo8bWk+eTwvbWk+CjwvbXJvdz4KPC9tc3ViPgo8bXJvdz4KPG1zdWI+CjxtaT5zPC9taT4KPG1pPng8L21pPgo8L21zdWI+Cjxtc3ViPgo8bWk+czwvbWk+CjxtaT55PC9taT4KPC9tc3ViPgo8L21yb3c+CjwvbWZyYWM+CjwvbWF0aD4K

definiert, wobei sxy die empirische Kovarianz und sx, sy die empirischen Standardabweichungen der Merkmale X und Y in den jeweiligen Stichproben sind. Es ist also mit rxy = r

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definiert, wobei MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eDwvbWk+Cjxtbz7MhDwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K und MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eTwvbWk+Cjxtbz7MhDwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K die arithmetischen Mittel der Werte der beiden Variablen bezeichnen (Korrelationskoeffizient der Stichprobe). Dieser Korrelationskoeffizient liegt, anders als die Kovarianz sxy, immer zwischen –1 und +1. Falls die Punkte (x1,y1), ... ,(xn,yn) alle auf einer Geraden mit positiver (negativer) Steigung liegen, ist r = +1 (r = –1). Der Korrelationskoeffizient der Stichprobe hat wünschenswerte Eigenschaften als Schätzwert für den Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit dann, wenn letztere eine zweidimensionale Normalverteilung aufweist. Ist (X, Y) eine zweidimensionale Zufallsvariable, wobei Cov (X, Y) deren Kovarianz ist und Var X, Var Y die Varianzen der beiden Variablen bezeichnen, dann ist deren Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient

MathML (base64):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

2. Spearman-Pearsonscher Rangkorrelationskoeffizient: Es seien R(xi) bzw. R(yi) der Rang des Wertes xi bzw. yi innerhalb der n Werte des ersten bzw des zweiten Merkmals, i = 1, ... ,n . Der Spearman-Pearsonsche Rangkorrelationskoeffizient rS ist der Bravais-Pearsonsche Koeffizient dieser Rangwerte und ergibt sich vereinfacht als (r=rS):

MathML (base64):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

falls x1, ... ,xn und y1, ... ,yn jeweils paarweise verschieden sind. Falls die Punktepaare (x1,y1), ... ,(xn,yn) alle auf einer streng monoton steigenden (fallenden) Kurve liegen, ist rs = +1 (rs = –1). Er kann auch bei nur ordinal skalierten Merkmalen (Ordinalskala) berechnet werden. Der Wert +1 wird angenommen, wenn die Ränge in den Datenreihen x1, ... ,xn bzw. y1, ... ,yn übereinstimmen. Der Wert -1 wird angenommen, falls die Ränge ein gegenläufiges Verhalten aufweisen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_coefficient

• A correlation coefficient is a numerical measure of some type of linear correlation, meaning a statistical relationship between two variables.[a] The variables may be two columns of a given data set of observations, often called a sample, or two components of a multivariate random variable with a known distribution.[citation needed]

Ein Korrelationskoeffizient ist ein numerisches Maß für eine Art linearer Korrelation, also eine statistische Beziehung zwischen zwei Variablen. ev lö Die Variablen können zwei Spalten eines gegebenen Beobachtungsdatensatzes (oft als Stichprobe bezeichnet) oder zwei Komponenten einer multivariaten Zufallsvariablen mit einer bekannten Verteilung sein.

• Several types of correlation coefficient exist, each with their own definition and own range of usability and characteristics. They all assume values in the range from −1 to +1, where ±1 indicates the strongest possible correlation and 0 indicates no correlation.[2] As tools of analysis, correlation coefficients present certain problems, including the propensity of some types to be distorted by outliers and the possibility of incorrectly being used to infer a causal relationship between the variables (for more, see Correlation does not imply causation).[3]

Es gibt mehrere Arten von Korrelationskoeffizienten, jede mit eigener Definition und eigenem Anwendungsbereich und eigenen Eigenschaften. Sie alle nehmen Werte im Bereich von −1 bis +1 an, wobei ±1 die stärkste mögliche Korrelation und 0 keine Korrelation anzeigt.[2] Als Analyseinstrumente weisen Korrelationskoeffizienten bestimmte Probleme auf, darunter die Neigung einiger Typen, durch Ausreißer verzerrt zu werden, und die Möglichkeit, fälschlicherweise verwendet zu werden, um auf eine kausale Beziehung zwischen den Variablen zu schließen (weitere Informationen finden Sie unter Korrelation impliziert keine Kausalität).[3]

Types

Typen

• There are several different measures for the degree of correlation in data, depending on the kind of data: principally whether the data is a measurement, ordinal, or categorical.

Es gibt verschiedene Maße für den Korrelationsgrad von Daten. Diese sind von der Art der Daten abhängig, vor allem davon, ob es sich bei den Daten um Messwerte, Ordinal- oder Kategoriedaten handelt.

Pearson (https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelationskoeffizient_nach_Bravais-Pearson https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_correlation_coefficient

• The Pearson product-moment correlation coefficient, also known as r, R, or Pearson's r, is a measure of the strength and direction of the linear relationship between two variables that is defined as the covariance of the variables divided by the product of their standard deviations.[4] This is the best-known and most commonly used type of correlation coefficient. When the term "correlation coefficient" is used without further qualification, it usually refers to the Pearson product-moment correlation coefficient.

* Der Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient, auch bekannt als r, R oder Pearson-r, ist ein Maß für die Stärke und Richtung der linearen Beziehung zwischen zwei Variablen, die als Kovarianz der Variablen geteilt durch das Produkt ihrer Standardabweichungen definiert ist.[4] Dies ist der bekannteste und am häufigsten verwendete Typ von Korrelationskoeffizienten. Wenn der Begriff „Korrelationskoeffizient“ ohne weitere Qualifizierung verwendet wird, bezieht er sich normalerweise auf den Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten.

Intra-class (https://de.wikipedia.org/wiki/Intraklassen-Korrelation https://en.wikipedia.org/wiki/Intraclass_correlation

Intraclass correlation (ICC) is a descriptive statistic that can be used, when quantitative measurements are made on units that are organized into groups; it describes how strongly units in the same group resemble each other.

Die Intraklassen-Korrelation (ICC) ist eine beschreibende Statistik, die verwendet werden kann, wenn quantitative Messungen an in Gruppen organisierten Einheiten vorgenommen werden; sie beschreibt, wie stark sich Einheiten in der gleichen Gruppe ähneln.

---

Rank (https://de.wikipedia.org/wiki/Rangkorrelationskoeffizient https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_correlation

Rang

• Rank correlation is a measure of the relationship between the rankings of two variables, or two rankings of the same variable:

Die Rangkorrelation ist ein Maß für die Beziehung zwischen den Rangfolgen zweier Variablen oder zweier Rangfolgen derselben Variablen:

• Spearman's rank correlation coefficient is a measure of how well the relationship between two variables can be described by a monotonic function.

Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman ist ein Maß dafür, wie gut die Beziehung zwischen zwei Variablen durch eine monotone Funktion beschrieben werden kann.

• The Kendall tau rank correlation coefficient is a measure of the portion of ranks that match between two data sets.

Der Rangkorrelationskoeffizient nach Kendall Tau ist ein Maß für den Anteil der Ränge, die zwischen zwei Datensätzen übereinstimmen.

• Goodman and Kruskal's gamma is a measure of the strength of association of the cross tabulated data when both variables are measured at the ordinal level.

Das Gamma nach Goodman und Kruskal ist ein Maß für die Stärke der Assoziation der kreuztabellierten Daten, wenn beide Variablen auf Ordinalebene gemessen werden.

Tetrachoric and polychoric

The polychoric correlation coefficient measures association between two ordered-categorical variables. It's technically defined as the estimate of the Pearson correlation coefficient one would obtain if:

   The two variables were measured on a continuous scale, instead of as ordered-category variables.
   The two continuous variables followed a bivariate normal distribution.

When both variables are dichotomous instead of ordered-categorical, the polychoric correlation coefficient is called the tetrachoric correlation coefficient.

eigene Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 28.7.2024;

mm

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

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Berechnung

NN

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

	Variable
=	Ergebnis

[math] {NN} [/math]

Variable

Excel

• NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.

Literatur

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 28.7.2024;

NN

• Weiterleitung:

Hauptartikel-> [[]]

• Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]]

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eigene

Literatur

Weblinks

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 28.7.2024;

Literatur

Fachliteratur

• Hackl ua (1982), S. 83 f;

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur, ev Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelationskoeffizient_nach_Bravais-Pearson ev lö

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelation-40362 https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/korrelationskoeffizient-39501

• [

NN bei Wikipedia], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 28.7.2024;

• [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 28.7.2024;

Einzelnachweise

[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]