Mittelwert

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siehe auch-> Modus, Median

Der Mittelwert (Mittel, Durchschnitt) ist ein statistischer Lageparameter, der die Mitte der Variablen nach verschiedenen Methoden berechnet. Der Mittelwert der Grundgesamtheit wird mit [math]\mu[/math] bezeichnet, bei der Stichprobe kommt [math]\overline{x}[/math] zur Anwendung.

Wenn der Begriff "Mittelwert" ohne nähere Bestimmung verwendet wird, ist damit üblicherweise das arithmetische Mittel gemeint.[1]

Der Mittelwert kann durch auch Gewichtung der Variablen bzw. die Verwendung von Erwartungswerten ermittelt werden.

Der Mittelwert ist eine gute Annäherung an die zentrale Tendenz einer unimodalen symmetrischen Verteilung, kann aber bei schiefen oder multimodalen[2] Verteilungen irreführend sein. Daher ist es hilfreich, bei schiefen Verteilungen zusätzlich andere Lagemaße zu bestimmen (so ist z.B. der Median bei schiefen Verteilungen oder bei Ausreißern deutlich robuster).[3] Im Box-Plot wird der Mittelwert manchmal als "+" in der Box dargestellt.

Zum Zusammenhang von Modus und (artihmetischen) Mittelwert bei symetrischen und schiefen Verteilungen vgl. Schiefe (Statistik).

Arten:

Die ersten drei Mittelwerte werden auch als klassische Mittelwerte bezeichnet, da sie schon in der Antike bekannt waren.[4]

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ergibt sich aus der Summe aller Werte geteilt durch die Zahl der Variablen.

Das arithmetische Mittel ist leicht zu rechnen und leicht verständlich, ist aber nicht immer die erste Wahl.[5] 

Wenn der Begriff "Mittelwert" ohne nähere Bestimmung verwendet wird, ist damit üblicherweise das arithmetische Mittel gemeint.

Berechnung[6]

[math]\bar{x}_{\mathrm{arithm}} = \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n}[/math]

Beispiel: Das arithmetische Mittel der beiden Zahlen 1 und 2 ist (1 + 2) / 2 = 1,5.

Excel Das arithmetische Mittel wird in Excel mit der Funktion MITTELWERT() berechnet.[7]

Literatur

  • Aschauer / Purtscher (2023), S. 31;
  • Falkenberg (1975), S. 136;
  • Hackl u.a. (1982), S. 15;

Weblinks

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel wird als n-te Wurzel aus dem Produkt aller n-Faktoren berechnet. Es schwerer verständlich als das arithmetische Mittel, dafür aber belastbarer.[8]

Berechnung[9]

[math]\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dotsm x_n}[/math]

Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert ≈ 1,41 der Quatratwurzel von 3.

Excel Das geometrische Mittel wird in Excel mit der Funktion GEOMITTEL() berechnet.[10]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 136;
  • Hackl u.a. (1982), S. 16;

Weblinks

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist definiert als der Kehrwert des Mittelwerts der Kehrwerte.[11]

Es schwerer verständlich als das arithmetische Mittel, dafür aber belastbarer.[12]

Berechnung[13]

[math]\bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dotsb + \frac{1}{x_n}}[/math]

Excel Das harmonische Mittel wird in Excel mit der Funktion HARMITTEL() berechnet.[14]

Literatur

  • Aschauer / Purtscher (2023), S. 312;
  • Falkenberg (1975), S. 135;

Weblinks

Gewichtung

Unter Gewichtung versteht man die Bewertung einzelner Einflussgrößen eines mathematischen Modells beispielsweise hinsichtlich ihrer Wichtigkeit oder Zuverlässigkeit. [15] Sie führt dazu, dass einige Elemente größeren Einfluss auf das Ergebnis haben.

Weblinks

Literatur

siehe auch-> einzelne Kapitel

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur, Liste englische Fachausdrücke, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

siehe auch-> einzelne Kapitel

Einzelnachweise

  1. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  2. ↑ D.h. mehrere Modi aufweisend.
  3. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  4. ↑ Wikipedia, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  5. ↑ Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 313.
  6. ↑ Aus Wikipedia, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  7. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  8. ↑ Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 227.
  9. ↑ Aus Wikipedia, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  10. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Geomittel, abgefragt 4.2.2024.
  11. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  12. ↑ Vgl. Beispiel in Aschauer / Purtscher (2023), S. 313.
  13. ↑ Aus Wikipedia, Stichwort: Mittelwert, abgefragt 4.2.2024.
  14. ↑ Vgl. Microsoft Support, Stichwort Harmittel, abgefragt 4.2.2024.
  15. ↑ Wikipedia, Stichwort: Gewichtung, abgefragt 4.2.2024.
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